M-1; Tema 2: Fundamentos de la Inversión (Estadística).

  • medidas de tendencia central
    • pretenden obtener un valor que represente el comportamiento de un conjunto de datos
    • media aritmética (x)
      • x = ( x1 + x2 + x3 + … + xn ) / n
    • esperanza matemática (E(x))
      • si una serie de resultados se dan con ciertas probabilidades, escenarios, etc.
      • E (X) = p1 x1 + p2 · x2 + … + pn · xn
      • rentabilidad esperada de un activo : ET = p1 R1 + p2 · R2 + … + pn · Rn
      • rentabilidad esperada de una cartera : EP = x1 E1 + x2 · E2 + … + xn · En
        • dónde
          • pn : probabilidades asociadas a cada escenario
          • xn : proporción que cada título tiene en la cartera de valores
          • En : rentabilidad esperada del título n
        • media geométrica
          • xg = ( x1 x2 · x3 · … · xn ) 1 / n
          • si las observaciones son rentabilidades, la media geométrica de esas rentabilidades habiendo sumado 1 a cada una de ellas corresponde a la rentabilidad compuesta media de todas ellas, más 1
        • otras medidas
          • mediana : valor que queda en el centro de una serie ordenada de datos (si la serie es impar, se calcula como el promedio entre los dos valores centrales)
          • moda : valor más repetido
          • cuartiles y percentiles : percentil x% el que deja el x% de la distribución por debajo de él
          • medias móviles : se utilizan para análisis técnico (bolsa), permiten suavizar series, quitándoles la aleatoriedad del corto plazo
            • media móvil simple MMS: suma de las n datos, dividido por n
            • media móvil ponderada MMP: se ponderan los datos

 

  • medidas de dispersión
    • miden la dispersión de los datos respecto de su media o esperanza
    • varianza ( σ2 ) ( S2 )
      • σ2 = [ ( x1 – x )2 + ( x2 – x ) 2 + … + ( xn – x ) 2 ] / n
    • desviación tipo o estándar ( σ )
      • raiz cuadrada de la varianza
      • σ = ( [ ( x1 – x ) 2 + ( x2 – x ) 2 + … + ( xn – x ) 2 ] / n ) 1 / 2 
      • transformación desviación inferior al año a desviación anual (similar tipo interés)
      • σanual = σmensual (12) 1 / 2 ;   σanual = σtrimestal · (4) 1 / 2   ; σanual = σdiaria · (252) 1 / 2
    • rango o amplitud o recorrido: és la diferencia entre el valor mayor y el menor

 

  • medidas de relación
    • miden la relación entre los datos
    • covarianza ( σxy )
      • estudia el grado de relación entre las variaciones de dos conjuntos de datos
      • σxy = [ ( x1 – x ) · ( y1 – y ) + ( x2 – x ) · ( y2 – y )+ … + ( xn – x ) · ( yn – y )] / n
      • interpretación
        • > 0 à ambas series de mueven, por término medio en el mismo sentido
        • = 0 à existe independencia entre los movimientos de ambas series
        • < 0 à ambas series de mueven, por término medio en sentido contrario

 

  • coeficiente de correlación ( ρxy ) [-1, 1]
    • estudia el grado de relación entre las variaciones de dos conjuntos de datos o activos
    • indica si la pendiente de la recta de regresión es positiva o negativa
    • ρxy = σxy / ( σx σy )
    • interpretación
      • = 1 à relación lineal directa y perfecta, variaciones proporcionales y del mismo sentido
      • = 0 à las variaciones entre las series son independientes linealmente
      • = -1 à relación lineal inversa y perfecta, variaciones proporcionales y de signo distinto
    • EFA: esta expresión debemos conocerla bien cuando nos piden algún dato de la fórmula y no nos la dan (ej: tenemos la covarianza y las volatilidades de los activos)
  • coeficiente de determinación ( ρ2xy ) (R2)
    • indica cómo de bien se ajusta la recta a la nube de puntos
    • indica el grado de relación lineal entre dos variables

 

  • regresión lineal
    • y = α + β · x
      • β = σxy / σ2x
      • α = E ( Y ) – β · E ( X )
    • en el caso de un valor y un índice, el índice siempre es x, y el valor y
    • interpretación β
      • β > 1 ó β < -1 à agresivo
      • β = 0 à neutro
      • -1 < β < 1 à conservador

 

  • normalización de datos
    • y = x – x / σ
    • normalización de rendimientos: no se mueven por igual en sentido positivo o negativo, por lo que sólo podremos afirmar que la estimación de rendimientos es buena y se comporta como una normal si es simétrica
    • consecuencias de la hipótesis de normalidad
      • en la medida que la rentabilidad se ajuste una Ley Normal de media E y desviación tipo σ podremos afirmar que existe un
        • 68% de probabilidad que la rentabilidad del activo/cartera esté entre E–σ E+σ (un 16% que sea menor a E – σ  y otro 16% que sea mayor a E + σ )
        • 95% de probabilidad que la rentabilidad del activo/cartera esté entre E–2σ E+2σ (un 2,5% que sea menor a E – 2σ  y otro 2,5% que sea mayor a E + 2σ )
        • 99% de probabilidad que la rentabilidad del activo/cartera esté entre E–3σ E+3σ (un 0,5% que sea menor a E – 3σ  y otro 0,5% que sea mayor a E + 3σ )
      • coeficiente de asimetría
        • mide si la distribución de los datos es simétrica respecto a la media
        • la existencia de valores extremos “arrastra” a la media aritmética sin afectar a la mediana
        • interpretación
          • media < mediana à valores extremos menores que la media (izquierda) : negativa
          • media = mediana à simétrica
          • media > mediana à valores extremos mayores que la media (derecha) : positiva
        • curtosis
          • mide si la distribución de los datos es apuntada, respecto a la distribución normal
          • interpretación
            • > 0 à leptocúrtica (más apuntada que la normal)
            • = 0 à mesocúrtica (igual que la normal)
            • < 0 à platicúrtica (menos apuntada que la normal)

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