Gestión de Carteras (fórmulas)

 

\[B/P\,(€)=P_t-P_{t-1}\]

Donde,

  • \(B/P\,(€)\), es el beneficio o pérdida del periodo \(t, t-1\) expresado en términos absolutos (euros).
  • \(P_t\), es el precio final.
  • \(P_{t-1}\), es el precio inicial.

 


  1. Beneficio/pérdida con dividendo

 

\[B/P\,(€)=(P_t+D_t)-P_{t-1}\]

Donde,

  • \(B/P\,(€)\), es el beneficio o pérdida del periodo \(t, t-1\) expresado en términos absolutos (euros).
  • \(D_t\), es el dividendo bruto en el momento t (se presume realizado a la fecha final sin necesidad de capitalizarlo, dado que su precio suele ser muy pequeño en relación con el precio del activo).
  • \(P_t\), es el precio final.
  • \(P_{t-1}\), es el precio inicial.

 


  1. Rentabilidad simple (o rendimiento) sin dividendo

 

\[RS_t=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}\]

Donde,

  • \(RS_t\), es la rentabilidad del periodo \(t, t-1\).
  • \(P_t\), es el precio final.
  • \(P_{t-1}\), es el precio inicial.

 


  1. Rentabilidad simple (o rendimiento) con dividendo

\[RS_t=\frac{(P_t-P_{t-1})+D_t}{P_{t-1}}\]

Donde,

  • \(RS_t\), es la rentabilidad del periodo \(t, t-1\).
  • \(P_t\), es el precio final.
  • \(P_{t-1}\), es el precio inicial.
  • \(D_t\), es el dividendo bruto en el momento t (se presume realizado a la fecha final sin necesidad de capitalizarlo, dado que su precio suele ser muy pequeño en relación con el precio del activo).

 


  1. Rentabilidad histórica (media aritmética)

 

\[R_t=\frac{RS_1+RS_2+…+RS_n}{n}\]

Donde,

  • \(R_t\), es la rentabilidad del periodo \(1, n\).
  • \(RS_n\), es rentabilidad simple del subperiodo \(n\).
  • \(n\), es el número de subperiodos.

 


  1. Tasa Geométrica de Rentabilidad (media geométrica)

\[TGR=\sqrt{\left(1+RS_1\right)\cdot\left(1+RS_2\right)\cdot…\cdot\left(1+RS_n\right)}-1\]

Donde,

  • \(R_t\), es la rentabilidad del periodo \(1, n\).
  • \(RS_n\), es rentabilidad simple del subperiodo \(n\).
  • \(n\), es el número de subperiodos.

Nota: la Tasa Geométrica de Rentabilidad (Time-weighted rate of return) es considerada la rentabilidad del gestor de la cartera.

 


  1. Tasa Interna de Retorno (TIR)

 

\[TIR=\sum_{t=0}^n\frac{F_n}{\left(1+i\right)^n}\]

Donde,

  • \(TIR\), es la Tasa Interna de Retorno de la inversión realizada.
  • \(F_t\), representa los flujos de caja del periodo \(n\); igresos (+) y retiradas (-).
  • \(n\), es el número de periodos considerado.
  • \(i\), es el tipo de interés, tasa de descuento o coste del capital.

 


  1. Rentabilidad esperada de un título

 

\[E_i=RS_1\cdot p_1+RS_2\cdot p_2\cdot…\cdot RS_n\cdot p_n\]

Donde,

  • \(E_i\), es la rentabilidad esperada del título \(i\).
  • \(RS_n\), es la rentabilidad simple del subperiodo \(n\).
  • \(p_n\), es probabilidad de que ocurra el suceso considerado.

Nota: en el caso de no estar anualizada la rentabilidad anual sería,

\[E_{anual}=N\cdot E_i\] Donde,

\(E_{anual}\), es la rentabilidad esperada anual del título \(i\).

\(N\), es el número de sesiones (si es cotizado) o días del año.

\(E_i\), es la rentabilidad esperada del título \(i\).

 


  1. Rentabilidad esperada de una cartera

 

\[E_p=w_1\cdot E_1+w_2\cdot E_2+…+w_n\cdot E_n\]

Donde,

  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera.
  • \(w_n\), es la ponderación (o proporción) del activo \(n\) dentro de la cartera.
  • \(E_n\), es rentabilidad esperada del activo \(n\).
  • \(R_n\), es rentabilidad esperada del activo \(n\).

 


  1. Volatilidad (riesgo) de un título

 

\[\sigma_i=\sqrt{p_1\cdot\left(RS_1-E_i\right)^2+p_2\cdot\left(RS_2-E_i\right)^2\cdot…..\cdot p_n\cdot\left(RS_n-E_i\right)^2}\]

Donde,

  • \(\sigma_i\), es la volatilidad (riesgo) del título \(i\).
  • \(p_n\), es probabilidad de que ocurra el suceso considerado.
  • \(RS_n\), es la rentabilidad simple del subperiodo \(n\).
  • \(E_i\), es rentabilidad esperada del activo \(i\).

 


  1. Volatilidad (riesgo) de una cartera

 

\[\sigma_p=\sqrt{w_{1}^2\cdot\sigma_1^2+w_2^2\cdot\sigma_2^2+2\cdot w_1\cdot w_2\cdot\sigma_{1,2}}\]

Donde,

  • \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).

\(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

  • \(\sigma{1,2}\), es la covarianza entre los activos 1 y 2 (o 2 y 1, puesto que estas son simétricas).

También podemos escribir la volatilidad de la cartera en función del coeficiente de correlación:

\[\sigma_p=\sqrt{w_{1}^2\cdot\sigma_1^2+w_2^2\cdot\sigma_2^2+2\cdot w_1\cdot w_2\cdot\rho_{1,2}\cdot\sigma_{1}\cdot\sigma_{2}}\] Donde,

  • \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).
  • \(\rho_{1,2}\), es el coeficiente de correlación entre los activos 1 y 2.

Nota: si partimos de la relación que existe entre la covarianza de los activos 1 y 2 y el coeficiente de correlación tenemos que,

\[\rho_{1,2}=\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_1\cdot\sigma_2}\] Luego al despejar la covarianza tenemos que,

\[\sigma_{1,2}=\rho_{1,2}\cdot\sigma_1\cdot\sigma_2\] Por lo que podremos calcular la volatilidad (riesgo) de una cartera tanto si conocemos su covarianza como si conocemos su coeficiente de correlación.

 


  1. Coeficiente de correlación

\[\rho_{1,2}=\frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_1\cdot\sigma_2}\] Donde,

  • \(\rho_{1,2}\), es el coeficiente de correlación entre los activos 1 y 2.
  • \(\sigma_{1,2}\), es la covarianza entre los activos 1 y 2 (o 2 y 1, puesto que estas son simétricas).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

 


Markowitz

  1. Cartera de mínimo riesgo (con correlación positiva perfecta \(\rho=+1\) )

 

\[\sigma_p=w_1\cdot\sigma_1+w_2\cdot\sigma_2\] Donde,

  • \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

Luego, si la correlación es 1 no existirá ninguna diversificación, por lo que la varianza de la cartera será, al igual que la rentabilidad, una media ponderada. Donde, la cartera de mínimo riesgo estará formada en su totalidad por el título de menor riesgo.

 


  1. Cartera de mínimo riesgo (con correlación nula \(\rho=0\) )

\[\sigma_p=\sqrt{w_1\cdot\sigma_1+w_2\cdot\sigma_2}\]

Donde,

  • \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

\[w_1=\frac{\sigma_{2}^2 }{\sigma_1^2\cdot \sigma_2^2 }\]

\[w_2=\frac{\sigma_{1}^2 }{\sigma_1^2\cdot \sigma_2^2 }\]

Donde,

  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

Nota: si el coeficiente de correlación entre ambos títulos es igual a cero (\(\rho=0\)), los rendimientos de ambos títulos son independientes entre sí al no estar afectados por factores comunes. Así que cualquier comportamiento similar será debido al azar.

Por tanto, cuando dos títulos no están correlacionados entre sí no se debería invertir todo el presupuesto en el título de menor riesgo y menor rendimiento, la razón es que hay combinaciones de ambos títulos que proporcionan más rendimiento y el mismo riesgo.

 


  1. Cartera de mínimo riesgo (con correlación nula \(\rho=-1\) )

 

\[\sigma_p=|w_1\cdot\sigma_1-w_2\cdot\sigma_2|\]

Donde,

  • \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

\[w_1=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_1\cdot \sigma_2 }\]

\[w_2=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_1\cdot \sigma_2 }\]

Donde,

  • \(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
  • \(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).

Nota: Si la correlación entre ambos títulos es perfectamente negativa (\(\rho=-1\)), querrá decir que el comportamiento del rendimiento de cada activo es opuesto al del otro.

Aunque este es un caso que difícilmente se dará en la práctica su utilidad teórica es grande. Por rtanto, la diversificación seleccionando activos con coeficientes de correlación negativos permite reducir el riesgo de una cartera, e incluso anularlo.

Siendo la rentabilidad esperada:

\[E_p=\frac{E_1\cdot\sigma_1+E_2\cdot\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}\]

 


CAPM (Capital Asset Pricing Model)

  1. CML (Capital Market Line)

 

\[E_p=R_f+\left(\frac{E_m-R_f}{\sigma_m}\right)\cdot\sigma_p\]

Donde,

  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
  • \(E_m\), es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado.
  • \(\sigma_m\), es la volatilidad (o riesgo) de la cartera de mercado.
  • \(\sigma_p\), es la la volatilidad (o riesgo) de la cartera \(p\).

Siendo las proporciones del activo sin riesgo,

\[x_0=\frac{R_f-E_p}{R_f-E_m}\] En el caso que fijemos la rentabilidad esperada.Y,

\[x_0^*=\frac{\sigma_m-\sigma_p}{\sigma_m}\] En el caso que fijemos la volatilidad (riesgo) a asumir.

 


  1. SML (Security Market Line)

 

\[E_i=R_f+(E_m-R_f)\cdot\beta_i\]

Donde,

  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada del título \(i\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
  • \(E_m\), es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado.
  • \(\beta_i\), es la beta del título \(i\).

luego,

\[E_i>SML\Rightarrow el\ activo\ se\ encuentar\ infravalorado\]

\[E_i<SML\Rightarrow el\ activo\ se\ encuentar\ sobrevalorado\]

 


Rentabilidad ajustada por riesgo

  1. Ratio de Sharpe

 

\[S_p=\frac{E_p-R_f}{\ \sigma_p}\]

Donde,

  • \(S_p\), es ratio de Sharpe.
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
  • \(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).

Nota: del valor numérico del ratio de Sharpe podemos extraer algunas conclusiones. En términos de rentabilidad, mientras mayor sea el índice de Sharpe, mejor es la rentabilidad del fondo comparado directamente a la cantidad de riesgo que se ha asumido en la inversion. Si el índice o ratio de Sharpe es negativo, indica un rendimiento inferior a la rentabilidad sin riesgo. Todo ratio de Sharpe inferior a uno significa que el rendimiento del activo es inferior al riesgo que estamos asumiendo al invertir en un activo determinado. Cuando la volatilidad del fondo de inversión es grande, asumimos más riesgo y por ende el ratio de Sharpe será menor, a no ser que el rendimiento del fondo en concreto compense esa mayor rentabilidad.

 


  1. Ratio de Treynor

 

\[T_p=\frac{E_p-R_f}{\ \beta_p}\]

Donde,

  • \(S_p\), es ratio de Sharpe.
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
  • \(\beta_p\), es la beta (sensibilidad a los movimientos del mercado) de la cartera \(p\).

Nota: comparando varios activos a mayor ratio de Treynor, mayor rentabilidad ajustada por riesgo.

 


  1. Alpha de Jensen

\[\alpha_p=E_p-\left[R_f+\left(E_m-R_f\right)\cdot\beta_p\right]\]

Donde,

  • \(\alpha_p\), es el alpha de Jensen.
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad del activo sin riego.
  • \(\beta_p\), es la beta (sensibilidad a los movimientos del mercado) de la cartera \(p\).

Nota: comparando varias carteras de activos para \(\alpha>0\) la cartera está infravalorada y representa una oportunidad de inversión; para \(\alpha<0\) la cartera está sobrevalorada y por tantnto no ofrece suficiente renrtabilidad a los inversores racionales para aceptar su nivel de riesgo sistemático.

 


  1. Ratio de Información

 

\[RI=\frac{\alpha_p}{\sigma_{\alpha,p}}\] Donde,

  • \(\alpha_p\), es el alpha de Jensen de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_{\alpha,p}\), es la desviación típica (volatilidad o riesgo) del alpha de Jensen respecto de la cartera \(p\).

Nota: el resultado del Information Ratio refleja cuanta rentabilidad de más obtiene el fondo o cartera (respecto a su índice de referencia) por una unidad de riesgo de desviación del índice de referencia (que es el Tracking Error). Cuanto mayor sea este Ratio mejor.

 


  1. Tracking-Error (o error de tracking)

 

\[\sigma_{\alpha,p}=\sqrt{\sigma_p^2-\beta_p^2\cdot \sigma_m^2}\]

Donde,

  • \(\sigma_{\alpha,p}\), es la desviación típica (volatilidad o riesgo) del alpha de Jensen respecto de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_p^2\), es la varianza de la cartera \(p\).
  • \(\beta_p^2\), es la beta al cuadrado de la cartera \(p\).
  • \(\sigma_m\), es la varianza al cuadrado de la cartera de mercado (o benchmark) \(m\).

 


  1. Alpha de la cartera \(\alpha_p\)

 

\[\alpha_p=E_p-\beta_p \cdot E_m\]

Donde,

  • \(\alpha_p\), es el alpha de Jensen de la cartera \(p\).
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera \(p\).
  • \(\beta_p\), es la beta de la cartera \(p\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad de la cartera de mercado \(m\).

Nota: mide la diferencia de rentabilidad entre la cartera o fondo \(p\) y su índice de referencia o benchmark, mostrando la volatilidad de la diferencia de rentabilidad.

 


Atribución de resultados

  1. Ganancia del gestor total

 

\[G_{total}=E_p-E_m\]

Donde,

  • \(G_{total}\), es la ganacia total obtenida por el gestor de la cartera (o fondo).
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) \(p\).
  • \(E_m\), es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado \(m\).

 


  1. Aportación por selección (security selection)

 

\[S_{selection}=E_p-E_{m,p}\]

Donde,

  • \(S_{selection}\), es la ganacia total obtenida por el gestor de la cartera (o fondo).
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) \(p\).
  • \(E_{p,m}\), es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado respecto del benchmark \(m\).

Nota: nos muestra el exceso/defecto de rentabilidad obtenido debido a la elección de activos específicos dentro de cada tipología de activos.

 


  1. Aportación por estrategia (asset allocation)

 

\[A_{allocation}= E_{m,p}-E_p\]

Donde,

  • \(A_{allocation}\), es la ganacia total obtenida por el gestor de la cartera (o fondo).
  • \(E_{p,m}\), es la rentabilidad esperada de la cartera de mercado respecto del benchmark \(m\).
  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) \(p\).

Nota: esta medida de resultados nos muestra si como se ha conportado la cartera en cuanto a la asignación de los tipos de activos y su distribución sectorial y geográfica.

 


  1. Beta de una cartera

 

\[\beta_p=w_1\cdot\beta_1+w_2\cdot\beta_2+…+w_n\cdot\beta_n\]

Donde,

  • \(\beta_p\), es la beta de la cartera (o fondo) \(p\).
  • \(w_n\), es la ponderación del activo \(n\) dentro de la de cartera de activos \(p\).
  • \(\beta_n\), es la beta del activo \(n\).

Nota: la Beta de una cartera es el nivel de relación que existe entre el rendimiento de nuestra cartera y el mercado, expresado en un índice. Para el caso de las acciones, en España, se podría tomar como ejemplo el IBEX-35.

 


  1. Índice de Modigliani \(M^2\)

 

\[M^2=(S_a-S_b)\cdot\sigma_b\]

Donde,

  • \(M^2\), es el índice de Modigliani .
  • \(S_a\), es el ratio de Sharpe del activo \(a\).
  • \(S_b\), es el ratio de Sharpe del activo \(b\).
  • \(\sigma_b\), es la volatilidad del activo \(b\).

Nota: el índice de Modigliani da una visión global de la bondad de gestión de los fondos y suele emplearse para discriminiar en un universo amplio de fondos. Podemos concluir que cuanto mayor es el índice de Modigliani, mejor ha sido la gestión del fondo.

 


  1. Índice \(T^2\) (análogo al \(M^2\) pero utiliza el ratio de Treynor en lugar del ratio de Sharpe)

 

\[T^2=(T_a-T_b)\cdot\beta_b\]

Donde,

  • \(M^2\), es el índice de Modigliani .
  • \(S_a\), es el ratio de Sharpe del activo \(a\).
  • \(S_b\), es el ratio de Sharpe del activo \(b\).
  • \(\beta_b\), es la beta del activo \(b\).

Nota: cuanto mayor es el índice \(T^2\), mejor ha sido la gestión del fondo.

 


  1. Ratio de Sortino

 

\[Sortino = \frac {( E_p – R_f )}{d} \]

Donde,

  • \(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera (o fondo) \(p\).
  • \(R_f\), es la rentabilidad de la cartera de mercado \(m\).
  • \(d\), es la desviación estándar de los rendimientos negativos (downside risk).

Nota: la interpretación del ratio se vería como el exceso de rendimiento por encima de un determinado objetivo por unidad de riesgo a la baja. Lógicamente, cuanto mayor sea el valor del ratio mejor será la estrategia en términos del riesgo asumido.

 



 

Deja un comentario