Renta fija y M. Monetario (fórmulas)

1. Precio de una letra hasta un año (capitalización simple).

$$P_0=\frac{100}{\left(1+i\cdot\frac{d}{360}\right)}$$

donde,

  • \(P_0\), es el precio de la letra, expresado en porcentaje sobre el nominal.
  • \(i\), es el tipo de interés en tantos por uno.
  • \(d\), es el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder.

2. Precio de una letra para plazo superior al año (capitalización compuesta):
$$P_0=\frac{100}{(1+i)^{d/360}}$$

donde,

  • \(P_0\), es el precio de la letra, expresado en porcentaje sobre el nominal.
  • \(i\), es el tipo de interés en tantos por uno.
  • \(d\), es el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder.

3. Precio entero de un bono (capitalización compuesta):

$$P_0=\sum_{ t=1}^{ n}\frac{F_t}{(1+r)^{t}}$$

donde,

  • \(P_0\), es el precio entero de un bono o valor actual del mismo ($V_0$).
  • \(F_t\), Flujos a percibir por la tenencia de un bono (cupón y principal).
  • \(r\), es la TIR.
  • \(t\), es el tiempo.

4. Duración de Macaulay (o simplemente Duración):

$$D=\frac{\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t\cdot t}{\left(1+r\right)^t}}{P}$$

donde,

  • \(D\), Duración de Macaulay.
  • \(F_t\), Flujos a percibir por la tenencia de un bono (cupón y principal).
  • \(P\), es el precio entero de un bono o valor actual del mismo ($V_0$).
  • \(r\), es la TIR.
  • \(t\), es el tiempo.

5. Duración corregida expresada en años:

$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}=\frac{D}{\left(1+TIR\right)} $$

6. Duración corregida expresada en porcentaje:

$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}\cdot\frac{1}{100}$$

7. Duración corregida para estimar el efecto en precio de variaciones en la TIR:

$$\frac{\Delta P}{P}\simeq \frac{P_1-P_0}{P_0}\simeq \left(-D_{corregida}\right)\cdot\Delta TIR$$

8. Alternativamente, la Duración corregida para estimar el efecto en precio de variaciones en la TIR la podemos expresar como,

$$P_1\simeq P_0\cdot\left[1+((-D_{corregida})\cdot\Delta TIR)\right]$$

donde,

  • \(P_1\), es el precio estimado del bono ante una variación de la TIR.
  • \(P_0\), es el precio actual del bono .
  • \(D_{corregida}\), es la duración corregida.

9. Sensibilidad (o sensibilidad absoluta) ante cambios en el precio:

$$S=\frac{Duracion\,Macaulay }{\left(1+TIR\right)}\cdot\frac{Precio\,entero}{100}$$

$$S=Duracion\,corregida \cdot \frac{Precio\,entero}{100}$$

10. Alternativamente, la sensibilidad (o sensibilidad absoluta) ante cambios en el precio la podemos expresar como,

$$S={Duracion\,corregida }\cdot{Precio\,entero}$$

Nota: esta expresión se utiliza el caso de haber tomado como la duración corregida la siguiente fórmula:

$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}\cdot\frac{1}{100}$$

En el caso de haber tomado como como la duración corregida esta otra fórmula:

$$D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}=\frac{D}{\left(1+TIR\right)} $$

Entonces la sensibilidad, necesariamente, debería expresarse así:

$$S= Duracion\,corregida \cdot \frac{Precio\,entero}{100}$$

11. Sensibilidad del precio de un bono ante cambios de la TIR:

$$P_1-P_0\simeq (-S)\cdot\Delta TIR$$

donde,

  • \(P_1\), es el precio estimado del bono ante una variación de la TIR.
  • \(P_0\), es el precio actual del bono .
  • \(S\), es la sensibilidad o sensibilidad absoluta.
  • \(\Delta TIR\), variación porcentual de la TIR.

12. Alternativamente, si despejamos $P_1$ de la fórmula anterior, la sensibilidad del precio de un bono ante cambios de la TIR también la podemos expresar como,

$$P_1\simeq P_0 ((-S)\cdot\Delta TIR)$$

13. Convexidad:

$$C=\sum_{t=1}^n\frac{F_t\cdot t\cdot\left(t+1\right)}{\left(1+r\right)^{\left(t+2\right)}}$$

donde,

  • \(C\), es la convexidad o convexidad absoluta .
  • \(F_t\), Flujos a percibir por la tenencia del bono (cupón y principal).
  • \(r\), es la TIR.
  • \(t\), es el tiempo.

14.Precio entero; precio excupón y cupón corrido:

$$Precio\,entero = Precio\,excupón+cupón\,corrido$$

donde,

  • Precio entero = Importe que realmente se desembolsa al comprar una emisión.
  • Precio excupón = Importe que se cotiza en el mercado y que realmente sirve de referencia para negociar una transacción.
  • Cupón corrido = Importe que se añade al precio excupón para determinar el precio entero. Refleja el montante del cupón devengado y pendiente de pago, que está incorporado en el valor del instrumento financiero.

Nota: es común encontrar la nomenclatura en inglés, como: Dirty price (precio sucio o entero) = Clean price (precio límpio o excupón) Accrued interest (cupón corrido).

15. Cálculo del cupón corrido:

$$CC=\frac{D_c}{D_t}\cdot C$$

donde,

  • \(CC\), es el cupón corrido.
  • \(D_{c}\), es el tiempo transcurrido desde el pago del último cupón.
  • \(D_{t}\), es el tiempo que transcurre entre el pago de dos cupones consecutivos
  • \(C\), es el importe del cupón que se paga periódicamente.

16. Liquidación contrato FRA:

$$FRA=\frac{N\cdot D\cdot\left(TL-TF\right)}{360+\left(TL\cdot D\right)}$$

donde,

  • \(N\), importe nominal o nocional del contrato.
  • \(D\), número de días del período de garantía.
  • \(TL\), tipo de liquidación del FRA (Reuters/otros).
  • \(TF\), tipo negociado en la compra venta del FRA

17. Fórmula para pasar los tipos de interés en base 365 a 360 y viceversa:

$$i_{365}=\frac{365 }{360 }\cdot i_{360}$$

$$i_{360}=\frac{360 }{365 }\cdot i_{365}$$

18. Tipo forward o implícito:

Para periodos inferiores al año:

$$(1+_{0}S_{2} \cdot \frac{2 }{12 })=(1+_{0}S_{1} \cdot \frac{1 }{12 })\cdot(1+f_{1,2}\cdot \frac{1 }{12 })$$

Para periodos superiores al año:

$$(1+_{0}S_{2})^{2}=(1+_{0}S_{1})^1\cdot(1+f_{1,2})^1$$

donde,

  • \(_{0}S_{1}\), es el tipo spot o de contado; el subíndice que aparece a la derecha nos indica el momento en que dicho interés está vigente y, el de la derecha, el número de periodos de vigencia.
  • \(f_{1,2}\), es el tipo forward obtenido a partir de los tipos spot; el subíndice nos indica el periodo en que dicho interés estará vigente.

Nota: en este ejemplo la ecuación representa un tipo forward o implícito a un año dentro de un año; asimismo se podrían calcular cualquier otro siempre que la Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) tenga los tipos spot necesarios para ello.

Deja un comentario