Fórmulas

Matemáticas Financieras

 

Renta Fija y Mercado Monetario

 

Gestión de carteras (performance)

 

Módulo 1


Producto Interior Bruto:

\[PIB=C+I+G+(X-M)\]

Donde:

\(C\) = Consumo

\(I\) = Inversión

\(G\) = Gasto

\(X\) = Exportaciones

\(G\) = Importaciones


Producto Nacional Bruto:

\[PIB=\pm S_{BR}\]

Donde:

\(S_{BR}\) = saldo de la balanza de rentas (rentas recibidas del extranjero por residentes – rentas pagadas a residentes)


Producto Interior Neto:

\[PIN=PIB-Amrt.\]

Donde:

\(PIN\) = Producto interior neto

\(PIB\) = Producto interior bruto

\(Amrt.\) = Amortizaciones


PIB Real:

\[PIB\,real _n =\sum P_{base} \cdot Q_ {n}\]

Donde:

\(PIB\,real _{n}\) = Producto interior bruto REAL del año n

\(P_{base}\) = Precio del año base

\(Q_ {n}\) = Cantidad en el año n


PIB Nominal:

\[PIB\,nominal _{n} =\sum P_{n} \cdot Q_ {n}\]

Donde:

\(PIB\,nominal _{n}\) = Producto interior bruto NOMINAL del año n

\(P_{base}\) = Precio del año n

\(Q_ {n}\) = Cantidad en el año n


Compossición del PIB de oferta y el PIB de demanda:

\[PIB\,oferta = PIB\,demanda\]

\[VAB+IVA+TM=CPN+CPU+FBCF+VEX+XBS-MBS\]

Donde:

\(VAB\) = Valor añadido de producción

\(IVA\) = Impuestos indirectos

\(TM\) = Impuestos netos a las importaciones

\(CPN\) = Consumo privado nacional

\(CPU\) = Consumo público

\(FBCF\) = Formación bruta de capital fijo

\(VEX\) = Variación de existencias

\(XBS\) = Exportación de bienes y servicios

\(MBS\) = Importación de bienes y servicios


Índice de Precios al Consumo (IPC):

\[IPC=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { w }_{ i } }\frac { { p }_{ i,t } }{ { p }_{ i,0 } } \cdot 100\]

Donde:

\(\sum _{ i=1 }^{ n }{ { w }_{ i } }= 1\); Ponderaciones asignadas por el INE

\({ p }_{ i,t }\) = Precio del producto i del año t

\({ p }_{ i,0 }\) = Precio del producto i del año 0


IPC Subyacente:

\[IPC_{subyacente}=IPC – alimentos\,no\,elaborados – energía\]


Deflactor del PIB:

\[Deflactor\, del\, PIB=\frac { PIB\, nominal_{ n } }{ PIB\, real_{ n } } =\frac { \sum { P_{ n }\cdot Q_{ { n } } } }{ \sum { P_{ base }\cdot Q_{ { n } } } } \]


Tasa de desempleo:

\[ Tasa\,\,de\,\,desempleo = \frac{población\,\,parada}{población\,\,activa} \]


Capitalización Simple:

\[C _n=C _0 \cdot (1+i \cdot n)\]

Donde:

\({ C }_{ n }\) = Capital final o montante en el momento n

\(C_0\)= Capital inicial

\({i}\) = tipo de interés anual (en tanto por uno)

\(n\)= duración de la operación (expresada en años)


Equivalencia de Tantos (capitalización simple):

\[i =i _m \cdot m\]

Donde:

\({i}\) = Tipo de interés anual (en tanto por uno)

\(i_m\) = Tipo de interés mensual, trimestral, etc. (en tanto por uno)

\(m\)= Frecuencia (número de veces dentro del periodo)


Capitalización Compuesta:

\[C_{ n }=C_{ 0 }\cdot { (1+i) }^{ n }\]

Donde:

\({ C }_{ n }\) = Capital final o montante en el momento n

\(C_0\)= Capital inicial

\({i}\) = tipo de interés anual (en tanto por uno)

\(n\)= duración de la operación (expresada en años)


Equivalencia de Tantos (capitalización compuesta):

\[(1+i)=(1+ i _m)^m\]

Donde:

\({i}\) = Tipo efectivo anual (en tanto por uno)

\(i_m\) = Tipo efectivo mensual, trimestral, etc. (en tanto por uno)

\(m\) = Frecuencia (número de veces dentro del periodo)


Tipo de interés Efectivo (capitalización compuesta):

\[i_m=\frac{j _{(m)}}{m}\]

Donde:

\(i_m\) = Tipo efectivo mensual, trimestral, etc. (en tanto por uno)

\({j _{(m)}}\) = Tipo nominal (en tanto por uno)

\(m\) = Frecuencia (número de veces dentro del periodo)


Descuento Simple Racional:

\[{ C }_{ 0 }=C_{ n }\cdot { (1+i\cdot n) }^{ -1 }=\frac { C_{ n } }{ (1+i\cdot n) }\]

Donde:

\(C_0\)= Precio a pagar por la Letra (efectivo)

\({ C }_{ n }\) = Montante recibido si esperamos a vencimiento

\({i}\) = tipo de interés anual (en tanto por uno)

\(n\) = duración de la operación (expresada en años)


Descuento Simple Comercial:

\[{ C }_{ 0 }=C_{ n }\cdot { (1-d\cdot n) }\]

Donde:

\(C_0\)= Precio a pagar por la Letra (efectivo)

\({ C }_{ n }\) = Montante recibido si esperamos a vencimiento

\({d}\) = tipo de descuento anual (en tanto por uno)


Descuento Compuesto:

\[{ C }_{ 0 }=C_{ n }\cdot { (1+i) }^{ -n }\]

Donde:

\(C_0\)= Precio a pagar por la Letra (efectivo)

\({ C }_{ n }\) = Montante recibido si esperamos a vencimiento

\({i}\) = tipo de descuento anual (en tanto por uno)

Nota: a diferencia del Descuento Simple, en el Descuento Compuesto los intereses son productivos


Plusvalía/Minusvalía (o beneficio/pérdida):

\[BP={p_{t}-p_{t-1}}\]

\(BP\) = Beneficio/Pérdida

\(p_t\) = Precio final del periodo

\(p_{t-1}\) = Precio inicial del periodo


Rentabilidad Simple:

\[R_t=\dfrac{p_{t}-p_{t-1}}{p_{t-1}}\]

\(R_t\) = Rentabilidad simple del periodo t

\(p_t\) = Precio final del periodo

\(p_{t-1}\) = Precio inicial del periodo


Rentabilidad Simple si el título paga dividendos:

\[R_t=\dfrac{(p _{t}-p _{t-1})+D_t}{p_{t-1}}\]

\(R_t\) = Rentabilidad simple con pago de dividendo en el periodo t

\(p_t\) = Precio final del periodo

\(p_{t-1}\) = Precio inicial del periodo

\(D_t\) = Dividendo pagado durante el periodo

 


Otras fórmulas

 

 

La varianza de una cartera formada por dos activos (con covarianza) es:

\[\sigma^{2} _{c}=w^{2}_{1}\sigma^{2}_{1}(1-w_{1})^{2}+2w_{1}(1-w_{1})\sigma _{1,2}\]

La desviación típica (volatilidad) de una cartera formada por dos activos (con covarianza) es:

\[\sigma _{c}=\sqrt{w^{2}_{1}\cdot\sigma^{2}_{1}+(1-w_{1})^{2}\cdot\sigma^{2}_{2}+2\cdot w_{1}(1-w_{1})\cdot\sigma _{1}\cdot\sigma_{2}\cdot\sigma_{1,2}}\]

La varianza de una cartera formada por dos activos (con coeficiente de correlación) es:

\[\sigma^{2} _{c}=w^{2}_{1}\sigma^{2}_{1}(1-w_{1})^{2}+2w_{1}(1-w_{1})\rho _{1,2}\sigma _{1}\sigma _{2}\]

La desviación típica de una cartera formada por dos activos (con coeficiente de correlación) es:

\[\sigma _{c}=\sqrt{w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+(1-w_{1})^{2}\sigma_{2}^{2}+2w_{1}(1-w_{1})\rho _{1,2}\sigma _{1}\sigma _{2}}\]

 El coeficiente de correlación es:

\[\rho _{1,2}=\frac{\sigma _{1,2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}\]

Covarianza (despejando el coeficiente de correlación):

\[\sigma _{1,2}=\rho _{1,2}\cdot \sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\]

La fórmula para el forward (con tipo directo):

\[F_{local/divisa}=S_{local/divisa}\cdot{}\frac{1+i_{local}\cdot \frac{n}{base}}{1+i_{divisa}\cdot \frac{n}{base}}\]

Fórmula del tipo forward o implícito para una inversión a un año, dentro de un año:

\[(1+_{0}S_{1})*(1+f_{1,2})=(1+_{0}S_{2})^{2}\]

TAE:

\[TAE=TIR_{anualizada}\Leftrightarrow \left ( 1+i_{TAE} \right )= (1+TIR)\]

Formula de capitalización con reinversión de intereses:

\[C_{final}=C_{inicial}\cdot \left ( 1+i \right )^{n}\cdot \left ( 1+i \right )^{n}\cdot\: …\: \cdot \left( 1+i \right )^{n}\]

Equivalencia de tantos en capitalización compuesta:

\[(1+i)=(1+i_{m})^{m}\]

El tipo efectivo mensual, trimestral semestral, etc.:

\[i_{m}=\frac{j_{m}}{m}\]

Donde:

\[j_{m}=\, tipo \, nominal\]

\[m\,=\,frecuencia\,de\, devengo\]

\[i_{m}=tipo\,efectivo\,de\,frecuencia\, (m)\]

La fórmula de la rentabilidad simple es:

\[Rentabilidad\,simple=\frac{P_{f}-P_{i}}{P_{i}}\]

Capitalización compuesta, valor final:

\[C_{f}=C_{0}(1+i)^{n}\]

Capitalización compuesta, valor inicial:

\[C_{0}=C_{f}(1+i)^{-n}\]

Capitalización simple:

\[C_{f}=C_{0}\cdot (1+i\cdot n)\]

Rentabilidad geométrica:

\[(1+i_{0,1})\cdot (1+i_{1,2})\cdot \, …\, \cdot (1+i_{n-1,n})=(1+i_{0,n})^{n}\]

El tracking-error de una cartera:

\[TE=\sqrt{varianza\: cartera-(\beta \cdot varianza \: del\: benchmark})\]