Caso práctico: gestión de carteras

El caso: dos acciones, A y B

Una cartera invierte el 80 % en A y el 20 % en B. La correlación entre sus rentabilidades es 0,45.

Calcula la rentabilidad esperada y la volatilidad de esta cartera. Después, busca el reparto de mínima varianza entre A y B.

Trabajamos con pesos no negativos que suman uno, sin posiciones cortas, comisiones ni impuestos. Todas las estimaciones corresponden al mismo horizonte: no se anualizan ni se mezclan frecuencias. Son datos de un ejercicio, no previsiones de dos acciones reales.

1. La rentabilidad sí es una media ponderada

Multiplicamos la rentabilidad esperada de cada activo por la proporción invertida en él. Con los porcentajes expresados en tanto unitario:

Rentabilidad esperada de la cartera: 11 %.
El resultado queda entre el 7 % de B y el 12 % de A. Se acerca más a A porque concentra el 80 % del capital.

2. El riesgo depende de cómo se mueven juntos

No basta con ponderar las dos volatilidades. Hay que incorporar la correlación: parte de las fluctuaciones de un activo puede compensarse con las del otro.

Si σ representa la desviación típica y ρ la correlación:

Los tres términos de la varianza son 0,033856; 0,000900 y 0,004968. Su suma es 0,039724:

Volatilidad de la cartera: 19,93 %.
La media ponderada de las volatilidades sería 21,40 %. Aquí el riesgo es menor porque la correlación no es +1.

La volatilidad describe dispersión de rentabilidades; no es la pérdida máxima que podría sufrir la cartera.

3. Buscar el reparto de mínima varianza

Ahora dejamos de fijar el reparto 80/20 y preguntamos qué peso de A minimiza la varianza, manteniendo las volatilidades y la correlación del enunciado.

El numerador es 0,006975 y el denominador 0,04435. Por tanto:

Ambos pesos están entre 0 y 1, de modo que esta solución también es admisible sin posiciones cortas. Si la fórmula diera un peso fuera de ese intervalo, habría que aplicar la restricción y comprobar el extremo correspondiente.

La cartera de mínima varianza tiene menos volatilidad que cualquiera de los dos activos por separado. Pero también tiene menor rentabilidad esperada que la cartera inicial. Minimizar el riesgo no equivale a encontrar la mejor cartera para todo inversor.

Calculamos con precisión completa y redondeamos al presentar. Por eso el peso de A es 15,73 % a dos decimales.

Qué cambia si cambia la correlación

Una correlación menor puede reducir el riesgo de la combinación sin modificar la rentabilidad esperada de un reparto fijo. El peso de mínima varianza, en cambio, puede desplazarse: depende también de la relación entre los activos, no solo del que tenga menor volatilidad individual.

4. ¿Y si el cliente acepta un activo sin riesgo?

Hasta aquí hemos buscado cómo combinar dos acciones para reducir la volatilidad. Ahora cambia la pregunta: ¿podemos conseguir más rentabilidad esperada sin superar el riesgo que acepta el cliente? Para responder, pasamos a un segundo supuesto independiente, inspirado en un caso del libro de exámenes de nivel completo.

Las letras A, B, C y D designan ahora cuatro carteras ya formadas, no las acciones del ejercicio anterior. El cliente no quiere superar una volatilidad del 18 % y, al principio, solo acepta elegir una de esas cuatro carteras. Existe además un activo sin riesgo con rentabilidad del 3,92 %: es un dato hipotético, no un tipo de interés actual.

Primero: respetar el límite

Sin utilizar el activo sin riesgo, A y B cumplen la condición. Entre ellas, B ofrece la mayor rentabilidad esperada: 11,76 %, con una volatilidad del 18 %. C y D quedan descartadas por superar el límite. Esta elección se refiere a las cuatro alternativas ofrecidas; no hemos calculado todas las carteras que podrían construirse en el mercado.

Después: comparar la rentabilidad por unidad de riesgo

El ratio de Sharpe divide la rentabilidad que esperamos obtener por encima del activo sin riesgo entre la volatilidad asumida. Si R_f es la rentabilidad sin riesgo y σ_p la volatilidad de la cartera:

Con el mismo horizonte y los mismos criterios de cálculo, un Sharpe mayor indica más rentabilidad esperada por encima del activo sin riesgo por unidad de volatilidad. No basta con dividir la rentabilidad total entre el riesgo. En este caso, C tiene el mayor Sharpe de las cuatro carteras, aunque por sí sola resulta demasiado arriesgada para el cliente.

Finalmente: ajustar C al riesgo que el cliente acepta

Invertir una parte en el activo sin riesgo permite reducir la volatilidad de C. Si w es la proporción invertida en C, el resto, 1 − w, se coloca en el activo sin riesgo. Sin endeudamiento ni posiciones cortas:

Para alcanzar el 18 % de volatilidad, necesitamos w = 18/21 = 6/7: un 85,71 % en C y un 14,29 % en el activo sin riesgo. La rentabilidad esperada es (6/7 × 14,70 %) + (1/7 × 3,92 %) = 13,16 %.

La misma volatilidad del 18 %, pero una rentabilidad esperada del 13,16 % en lugar del 11,76 %.
La mejora frente a B es de 1,40 puntos porcentuales. No procede de añadir liquidez a B: procede de elegir C, que tiene mejor Sharpe, y ajustar su riesgo con el activo sin riesgo.

Qué mejora, y qué no debemos concluir

Añadir el activo sin riesgo amplía las posibilidades de elección; no mejora automáticamente el Sharpe de una cartera. Al combinar C con él, su exceso de rentabilidad y su volatilidad disminuyen en la misma proporción: el Sharpe se mantiene en 0,5133 mientras quede una proporción positiva en C. Con todo el capital en el activo sin riesgo, el cociente no está definido.

El cliente puede beneficiarse porque antes descartaba C por su riesgo y ahora puede ajustarla a su límite. Esto no significa que todo inversor deba mantener siempre una parte sin riesgo. La conveniencia depende del objetivo, del horizonte y de las alternativas disponibles.

El supuesto mantiene rentabilidades y volatilidades estimadas para un mismo horizonte, sin costes ni impuestos, y trata la rentabilidad del activo sin riesgo como cierta durante ese horizonte. No conocemos las covarianzas entre A, B, C y D: por eso no dibujamos una frontera eficiente ni afirmamos que C sea la mejor cartera de todo el mercado. Los resultados del modelo no son una garantía de rentabilidad futura.

Qué conviene llevarse del ejercicio

• La rentabilidad esperada se pondera directamente; el riesgo requiere varianzas y covarianzas.
• La correlación 0 no significa, en general, independencia entre rentabilidades.
• La cartera de mínima varianza depende de las estimaciones y de las restricciones elegidas.
• La mínima varianza y el mayor ratio de Sharpe responden a preguntas distintas. Combinar una cartera con un activo sin riesgo permite ajustar su volatilidad, no aumentar por sí solo su Sharpe.
• Un resultado histórico o de un modelo no garantiza rentabilidades futuras.

Si necesitas localizar una relación concreta, vuelve a las fórmulas de riesgo de una cartera. Para una consulta sistemática por tema, tienes el Formulario de teoría de carteras.