Matemáticas financieras · Ejercicios resueltos · I

10 ejercicios de matemáticas financieras resueltos (I)

Practica interés simple y compuesto, tipos equivalentes, bonos y rentabilidad real. Cada ejercicio conecta el planteamiento con la fórmula, el cálculo y lo que significa el resultado, con gráficos y comprobaciones con Casio FC-100V/FC-200V.

Práctica propia para European Investment Practitioner (EIP) y European Financial Advisor (EFA). No son preguntas oficiales ni implican aval de EFPA.

Elige el concepto que quieres practicar

Precio de un bono con cupones semestrales
Interés compuesto: capital final e intereses
Valor actual de un bono con cupón anual
Tipo efectivo mensual equivalente
Interés simple con base de 365 días
Tipo nominal anual y capitalización bimestral
Bono bajo la par y rentabilidad exigida
Rentabilidad real: descontar la inflación
Rentabilidad media geométrica
Qué datos necesita la TIR

Cómo trabajar estos ejercicios

Intenta responder antes de abrir la solución. Anota capital, tipo, plazo y ley financiera; comprueba que usan la misma periodicidad. Después identifica la fórmula y sus variables, sigue la sustitución de datos y explica con tus palabras por qué el resultado tiene sentido.

En las fórmulas, un 5 % se escribe 0,05. En el campo I% de la Casio se introduce 5. En las operaciones de teclado se usa el punto decimal; las entradas financieras se presentan con coma decimal. Confirma cada dato con EXE y revisa la configuración antes de resolver. Las funciones comunes corresponden a Casio FC-100V/FC-200V; BOND es exclusiva de la FC-200V y se utiliza en los ejercicios de bonos.

Cómo leer las etiquetas de la Casio y las fórmulas

COMP: cálculo general; SMPL: interés simple; CMPD: interés compuesto; CASH: flujos de caja; CNVR: conversión de tipos. BOND: valoración de bonos, solo en la FC-200V. Son los nombres de los modos de la calculadora.

PV es el capital actual; FV, el capital futuro; PMT, el pago periódico; n, el número de periodos; I%, el tipo en porcentaje; P/Y, los pagos por año; C/Y, las capitalizaciones por año. End significa pago al final del periodo y dn = CI aplica capitalización compuesta a la fracción de periodo.

El valor actual neto (VAN) aparece como NPV en la Casio. La tasa interna de rentabilidad (TIR) aparece como IRR. En CNVR, EFF indica el tipo efectivo anual. SOLVE resuelve la incógnita, EXE confirma el dato y ESC regresa a la pantalla anterior. En CASH, CF0 es el flujo inicial, CF1 el del primer periodo, y así sucesivamente. En el editor de datos se introducen por ese orden en X1, X2, etc. En BOND, RDV es el reembolso y PRC el precio por cada 100 de nominal; CPN es el cupón anual en porcentaje y YLD la rentabilidad anual según la periodicidad configurada. Annu/Term utiliza pagos anuales y número de cupones; Semi/Date, pagos semestrales y fechas. No se introduce una rentabilidad efectiva anual como si fuera un nominal semestral.

Ejercicio 01 · Matemáticas I

Precio de un bono con cupones semestrales

Un bono de nominal 100 €, vencimiento a 3 años y cupón nominal anual del 3 % paga cada semestre. Si la rentabilidad exigida es el 2 % efectivo anual, ¿cuánto vale justo después de pagar un cupón? Sin comisiones ni impuestos.

102,93 €
100,84 €
101,65 €
103,56 €

Ver solución · ejercicio 1

La respuesta correcta es la A.

El precio es el valor actual de los cupones y del nominal que se recupera al vencimiento.

c=\frac{Nj}{m}

i_s=(1+i_a)^{1/m}-1

P=\sum_{k=1}^{n}\frac{c}{(1+i_s)^k}+\frac{N}{(1+i_s)^n}

P es el precio del bono; N, su nominal; j, el cupón nominal anual; m, los pagos de cupón por año; c, el cupón de cada periodo; iₐ, la rentabilidad efectiva anual; iₛ, la rentabilidad efectiva semestral; n, el número de semestres pendientes. Todos los flujos se descuentan con un tipo referido al mismo periodo.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}c&=\frac{100\cdot0{,}03}{2}\\&=1{,}50\text{ euros}\end{aligned}

\begin{aligned}i_s&=(1{,}02)^{1/2}-1\\&=0{,}0099504938\ldots\end{aligned}

\begin{aligned}P&=\sum_{k=1}^{6}\frac{1{,}50}{(1+i_s)^k}\\&\quad+\frac{100}{(1+i_s)^6}\\&\approx102{,}93\text{ euros}\end{aligned}

El precio supera el nominal: el cupón semestral de 1,50 € es mayor que el rendimiento semestral exigido sobre 100 €.

Comprobación con Casio FC-200V

Función: BOND.

SET = Semi/Date
Date Input = DMY; Date Mode = 360
d1 = 16092026; d2 = 16092029
RDV = 100; CPN = 3
YLD = 1,990098767…

Confirma cada entrada con EXE. Sitúate en PRC y pulsa SOLVE.

PRC ≈ −102,93 por cada 100 de nominal; el signo negativo representa el desembolso. No hay cupón corrido porque la valoración coincide con una fecha de cupón.

Para reproducir los seis semestres se han tomado, solo como fechas de comprobación, el 16 de septiembre de 2026 y el 16 de septiembre de 2029. YLD = 2 × iₛ × 100: es el nominal anual semestral equivalente, no el 2 % efectivo anual.

Comprobación con Casio FC-100V

Función: CASH.

I% = 0,9950493836…
CF0 = 0
CF1 = CF2 = CF3 = CF4 = CF5 = 1,50
CF6 = 101,50

Introduce los flujos, sitúate en NPV y pulsa SOLVE.

NPV ≈ 102,93. Cada intervalo representa un semestre.

Aquí CF0 vale cero porque buscamos el valor actual de los cobros futuros, sin restar todavía un precio de compra.

Cinco cobros de 1,50 € y un último cobro de 101,50 €. Las líneas son proporcionales a los importes: el último pago contiene también el nominal. Todos se descuentan a hoy.

Ejercicio 02 · Matemáticas I

Interés compuesto: capital final e intereses

Se invierten 15.000 € al 2 % efectivo anual durante 8 años. Los intereses se reinvierten. ¿Cuántos intereses se acumulan? Sin aportaciones, gastos ni impuestos.

2.400,00 €
2.574,89 €
17.574,89 €
2.600,00 €

Ver solución · ejercicio 2

La respuesta correcta es la B.

En capitalización compuesta, cada interés se incorpora al capital y participa en la siguiente liquidación.

C_n=C_0(1+i)^n

I=C_n-C_0

C₀ es el capital inicial; Cₙ, el capital acumulado al final; i, el tipo efectivo por año; n, el número de años; I, los intereses totales. El enunciado pide I, no Cₙ.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}C_8&=15\,000(1{,}02)^8\\&=17\,574{,}8907\ldots\text{ euros}\end{aligned}

\begin{aligned}I&=17\,574{,}8907\ldots-15\,000\\&\approx2\,574{,}89\text{ euros}\end{aligned}

El interés simple daría 2.400 €. Los 174,89 € adicionales proceden de generar intereses sobre intereses anteriores.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: CMPD.

n = 8; I% = 2
PV = −15000; PMT = 0
P/Y = 1; C/Y = 1

Sitúate en FV y pulsa SOLVE.

FV ≈ 17.574,89. Resta los 15.000 € iniciales para obtener los intereses.

PV es negativo porque el capital inicial es una salida de dinero; FV es positivo porque lo recuperamos al vencimiento.

Explora y comprende

¿Cuánto ganas por reinvertir los intereses?

Compara dos formas de remunerar 15.000 €: calcular siempre los intereses sobre el capital inicial, o añadirlos al saldo para que también produzcan intereses. Sin aportaciones, gastos ni impuestos.

Elige un tipo anual entre 0 y 10 % y un plazo de 1 a 20 años.

Intereses sobre el capital inicial2.400,00 €

Intereses que generan otros intereses174,89 €

Intereses totales con capitalización2.574,89 €

Así empieza la diferencia: el primer año, ambos métodos generan 300,00 €. El segundo, el interés simple vuelve a generar 300,00 €, mientras el compuesto genera 306,00 € sobre los 15.300,00 € acumulados. Los 6,00 € adicionales son el 2 % de los 300,00 € ganados el primer año.

El gráfico muestra solo los intereses ganados, sin los 15.000 € iniciales. Los ejes se ajustan al plazo y a los importes elegidos; consulta sus valores al comparar escenarios.

Línea continua: intereses acumulados con capitalización compuesta. Discontinua: intereses simples. La franja entre ambas representa los intereses que han generado otros intereses. Ambas curvas parten de cero y usan la misma escala.

Ver cómo se forma la diferencia, año a año

Intereses de cada año y ventaja acumulada del interés compuesto
Año	Interés simple del año	Interés compuesto del año	Ventaja acumulada
1	300,00 €	300,00 €	0,00 €
2	300,00 €	306,00 €	6,00 €
3	300,00 €	312,12 €	18,12 €
4	300,00 €	318,36 €	36,48 €
5	300,00 €	324,73 €	61,21 €
6	300,00 €	331,22 €	92,44 €
7	300,00 €	337,85 €	130,29 €
8	300,00 €	344,61 €	174,89 €

La ventaja acumulada es la suma de las diferencias anuales. Los cálculos conservan todos los decimales; los importes se muestran redondeados a céntimos.

Al 2 % y a 8 años: compuesto 17.574,89 €; simple 17.400,00 €; diferencia 174,89 €.

Con interés simple, cada año se calculan intereses sobre el capital inicial. Con interés compuesto, los intereses se incorporan al capital y también generan intereses: con un tipo positivo y más de un año, la diferencia aumenta al alargar el plazo.

Ejercicio 03 · Matemáticas I

Valor actual de un bono con cupón anual

Un bono de nominal 500 € vence dentro de 2 años. Su cupón anual es del 8 % y la rentabilidad exigida, del 5 % efectivo anual. Valóralo en una fecha de cupón, justo después de su pago.

500,00 €
527,89 €
540,00 €
550,00 €

Ver solución · ejercicio 3

La respuesta correcta es la B.

Cada cobro debe actualizarse desde su fecha hasta el momento de la valoración.

c=Nj

P=\sum_{t=1}^{n}\frac{c}{(1+i)^t}+\frac{N}{(1+i)^n}

P es el precio; N, el nominal; j, el cupón anual; c, su importe en euros; i, la rentabilidad efectiva anual; n, los años hasta el vencimiento.

Aplicando los datos del enunciado:

c=500\cdot0{,}08=40\text{ euros}

\begin{aligned}P&=\frac{40}{1{,}05}+\frac{40+500}{1{,}05^2}\\&\approx527{,}89\text{ euros}\end{aligned}

Se paga una prima sobre 500 € porque el cupón del 8 % supera la rentabilidad exigida del 5 %.

Comprobación con Casio FC-200V

Función: BOND.

SET = Annu/Term; Date Mode = 360
n = 2; RDV = 100
CPN = 8; YLD = 5

Confirma las entradas con EXE. Sobre PRC, pulsa SOLVE.

PRC ≈ −105,5782313 por cada 100 de nominal. Multiplica su valor absoluto por 500 ÷ 100: 527,89 €.

En modo Term, n expresa el número de pagos de cupón pendientes.

Comprobación con Casio FC-100V

Función: CMPD.

Set = End; n = 2; I% = 5
PMT = 40; FV = 500
P/Y = 1; C/Y = 1

Sobre PV, pulsa SOLVE.

PV ≈ −527,89. Su valor absoluto es el precio pagado.

Ejercicio 04 · Matemáticas I

Tipo efectivo mensual equivalente

¿Qué tipo efectivo mensual equivale a un 6 % efectivo anual bajo capitalización compuesta?

0,5000 %
0,4868 %
6,0000 %
0,0600 %

Ver solución · ejercicio 4

La respuesta correcta es la B.

Dos tipos son equivalentes si producen el mismo capital al final del año.

(1+i_m)^{12}=1+i_a

i_m=(1+i_a)^{1/12}-1

iₐ es el tipo efectivo anual e iₘ, el tipo efectivo mensual. El exponente 12 recoge las doce capitalizaciones mensuales de un año.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}i_m&=(1{,}06)^{1/12}-1\\&=0{,}0048675506\ldots\\&\approx0{,}4868\%\text{ mensual}\end{aligned}

Doce meses al 0,486755… % producen un 6 % anual. Dividir 6 % entre 12 correspondería a un tipo nominal anual convertible mensualmente.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: COMP.

(1.06^(1÷12)−1)×100

Pulsa EXE.

Resultado: 0,486755… %, mensual.

El 6 % es efectivo anual: dividirlo entre 12 no conserva la equivalencia compuesta.

Ejercicio 05 · Matemáticas I

Interés simple con base de 365 días

Un capital de 20.000 € se coloca a interés simple anual del 4,4 % durante 226 días. La operación usa base 365. ¿Qué interés genera?

552,44 €
544,88 €
880,00 €
440,00 €

Ver solución · ejercicio 5

La respuesta correcta es la B.

Con interés simple, los intereses son proporcionales al capital, al tipo y al tiempo.

I=C_0\,i\,\frac{d}{B}

I es el interés; C₀, el capital inicial; i, el tipo anual en tanto por uno; d, los días de la operación; B, la base anual pactada, aquí 365 días.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}I&=20\,000\cdot0{,}044\cdot\frac{226}{365}\\&\approx544{,}88\text{ euros}\end{aligned}

Al usar base 365, cada día representa 1/365 de año. Con base 360 se obtendrían 552,44 €: sería otra convención.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: SMPL.

Date Mode = 365
Dys = 226; I = 4,4
PV = −20000

Selecciona SI:Solve y pulsa EXE.

SI ≈ 544,88 €.

La base es 365, no 360. PV negativo representa el capital entregado.

Ejercicio 06 · Matemáticas I

Tipo nominal anual y capitalización bimestral

Un depósito ofrece un 6 % nominal anual convertible bimestralmente, es decir, cada dos meses. ¿Cuál es el tipo por bimestre?

0,5 %
1 %
3 %
6 %

Ver solución · ejercicio 6

La respuesta correcta es la B.

Un tipo nominal anual se reparte entre el número de capitalizaciones del año.

i_b=\frac{j}{m}

i_a=(1+i_b)^m-1

j es el nominal anual; m, el número de bimestres del año; iᵦ, el tipo efectivo por bimestre; iₐ, el tipo efectivo anual. Un año contiene seis bimestres.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}i_b&=\frac{0{,}06}{6}=0{,}01\\&=1\%\text{ bimestral}\end{aligned}

\begin{aligned}i_a&=(1{,}01)^6-1\\&\approx6{,}1520\%\end{aligned}

Bimestral significa cada dos meses. La periodicidad es parte del dato y cambia el resultado.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: COMP.

6 ÷ 6

Pulsa EXE.

Resultado: 1 % por bimestre.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: CNVR.

n = 6; I% = 6

Sobre EFF, pulsa SOLVE.

EFF ≈ 6,152015 %.

CNVR utiliza n para el número de capitalizaciones por año.

Ejercicio 07 · Matemáticas I

Bono bajo la par y rentabilidad exigida

Un bono de nominal 100 € vence en 5 años, paga un cupón anual del 4 % y exige un 6 % efectivo anual de rentabilidad. ¿Qué precio tiene justo después de un cupón?

100,00 €
91,58 €
108,42 €
94,00 €

Ver solución · ejercicio 7

La respuesta correcta es la B.

El precio se obtiene descontando todos los pagos del bono a la rentabilidad exigida por el mercado.

c=Nj

P=\sum_{t=1}^{n}\frac{c}{(1+i)^t}+\frac{N}{(1+i)^n}

N es el nominal; j, el cupón anual; c, el cupón en euros; i, la rentabilidad efectiva anual; n, los años restantes; P, el precio actual.

Aplicando los datos del enunciado:

c=100\cdot0{,}04=4\text{ euros}

\begin{aligned}P&=\sum_{t=1}^{5}\frac{4}{1{,}06^t}+\frac{100}{1{,}06^5}\\&\approx91{,}58\text{ euros}\end{aligned}

Cotiza bajo la par: el cupón del 4 % es insuficiente para alcanzar el rendimiento exigido si se pagaran 100 €.

Comprobación con Casio FC-200V

Función: BOND.

SET = Annu/Term; Date Mode = 360
n = 5; RDV = 100
CPN = 4; YLD = 6

Confirma las entradas con EXE. Sobre PRC, pulsa SOLVE.

PRC ≈ −91,57527243. Por cada 100 € de nominal se pagan 91,58 €.

Comprobación con Casio FC-100V

Función: CMPD.

Set = End; n = 5; I% = 6
PMT = 4; FV = 100
P/Y = 1; C/Y = 1

Sobre PV, pulsa SOLVE.

PV ≈ −91,57527243. El signo corresponde al desembolso.

El precio baja cuando aumenta la rentabilidad exigida. La línea horizontal marca el nominal de 100 €: al 4 % se paga la par y al 6 % se paga 91,58 €.

Ejercicio 08 · Matemáticas I

Rentabilidad real: descontar la inflación

Una inversión gana un 5 % nominal en un año y los precios suben un 3 % en ese mismo año. ¿Cuál es la rentabilidad real exacta antes de impuestos? Aquí nominal significa medida en euros corrientes.

2,0000 %
1,9417 %
1,6667 %
8,0000 %

Ver solución · ejercicio 8

La respuesta correcta es la B.

La rentabilidad real mide cuánto aumenta la capacidad de compra, una vez descontada la subida de precios.

r_{\mathrm{real}}=\frac{1+r_{\mathrm{nominal}}}{1+\pi}-1

r nominal es la rentabilidad medida en euros corrientes; π es la inflación del mismo periodo; r real, el aumento de poder adquisitivo. Aquí «nominal» no significa tipo nominal anual convertible.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}r_{\mathrm{real}}&=\frac{1{,}05}{1{,}03}-1\\&=0{,}0194174757\ldots\\&\approx1{,}9417\%\end{aligned}

Tu saldo sube un 5 %, pero tu capacidad de comprar aumenta aproximadamente un 1,94 %. No confundas este uso de nominal con el tipo nominal convertible del ejercicio 6.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: COMP.

(1.05 ÷ 1.03 − 1) × 100

Pulsa EXE.

Resultado: 1,941747… %.

El saldo es 105 €, pero compra lo mismo que 101,94 € al inicio. Dividir entre 1,03 permite expresar ambos importes en poder adquisitivo comparable.

Ejercicio 09 · Matemáticas I

Rentabilidad media geométrica

Una inversión sin aportaciones gana un 10 % el primer año y pierde un 10 % el segundo. ¿Qué rentabilidad anual constante reproduce el resultado final?

0 %
−0,5013 %
−1 %
1 %

Ver solución · ejercicio 9

La respuesta correcta es la B.

Las rentabilidades sucesivas se enlazan multiplicando sus factores de crecimiento.

1+R=\prod_{t=1}^{n}(1+r_t)

g=(1+R)^{1/n}-1

rₜ es la rentabilidad de cada año; R, la rentabilidad acumulada de todos los años; n, su número; g, la rentabilidad anual constante equivalente.

Aplicando los datos del enunciado:

\begin{aligned}R&=1{,}10\cdot0{,}90-1\\&=-0{,}01=-1\%\end{aligned}

\begin{aligned}g&=(0{,}99)^{1/2}-1\\&\approx-0{,}5013\%\end{aligned}

La media aritmética es cero, pero no reproduce la capitalización de la inversión. La media geométrica sí incorpora el encadenamiento de rendimientos.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

Función: COMP.

((1.10 × 0.90)^(1 ÷ 2) − 1) × 100

Pulsa EXE.

Resultado: −0,501256… % anual.

El segundo −10 % se aplica al capital que ya había aumentado, por lo que no compensa exactamente el primer +10 %.

Ejercicio 10 · Matemáticas I

Qué datos necesita la TIR

Para calcular la tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión con flujos anuales regulares, ¿qué información es imprescindible?

El tipo de reinversión futuro de cada cobro
Los importes y momentos de todos los cobros y pagos, incluido el inicial
La inflación futura
Solo el importe cobrado al final

Ver solución · ejercicio 10

La respuesta correcta es la B.

La TIR se define como el tipo que hace que el valor actual neto de los flujos sea cero.

VAN(r)=\sum_{t=0}^{n}\frac{F_t}{(1+r)^t}=0

Fₜ es el flujo neto del periodo t, con salidas negativas y entradas positivas; n, el número de periodos; r, la TIR por periodo. También deben conocerse los momentos de cada flujo. Con intervalos anuales regulares, r es anual.

La TIR resume una secuencia de flujos; no garantiza que los cobros intermedios puedan reinvertirse a esa tasa.

No procede un cálculo numérico: el enunciado pregunta qué información hace falta, sin aportar una serie de importes.

Comprobación con Casio FC-100V/FC-200V

La función CASH utiliza los flujos CF0, CF1, …. Con ellos se selecciona IRR y se pulsa SOLVE. No debe rellenarse la serie con importes supuestos.

Sigue aprendiendo con este nivel de desarrollo

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