Gestión de carteras: fórmulas e interpretación

Qué estudiar según tu nivel

La certificación European Investment Practitioner (EIP) corresponde al nivel I. European Financial Advisor (EFA) completo reúne los contenidos de los niveles I y II; no es un tercer nivel.

• Nivel I / EIP: rentabilidad básica, medias, volatilidad, covarianza, correlación y diversificación.
• Nivel II / EFA completo: añade mínima varianza, beta y modelos de mercado, evaluación del gestor frente al inversor, medidas ajustadas al riesgo y atribución de resultados.
• Ampliación: Sortino forma parte del programa European Financial Planner (EFP). Modigliani M² y su análogo T² se incluyen aquí como complementos; no aparecen expresamente como indicadores en las guías consultadas.

Esta selección de fórmulas no sustituye el programa completo. Las guías de EFPA España —Asociación Española de Asesores y Planificadores Financieros— permiten comprobar los objetivos de cada certificación.

Resultado y rentabilidad: euros frente a porcentajes

Base de nivel I / EIP. La comparación entre rentabilidad del gestor y del inversor se desarrolla en nivel II.

Beneficio o pérdida y rentabilidad simple

El beneficio mide cuánto dinero ganamos; la rentabilidad, cuánto ganamos en relación con lo invertido. El beneficio es una magnitud absoluta, expresada aquí en euros. La rentabilidad es una magnitud relativa y suele comunicarse como porcentaje: permite comparar resultados de inversiones de distinto tamaño.

Una rentabilidad del 3 % supone ganar 30 € si invertimos 1.000 €, 300 € si invertimos 10.000 € o 3.000 € si invertimos 100.000 €. Los beneficios son distintos, pero el rendimiento por cada euro invertido es el mismo. Para comparar correctamente, las rentabilidades deben referirse al mismo plazo y calcularse con criterios equivalentes.

Para una unidad de un activo, P₀ es el precio de compra, P₁ el valor final y D el dividendo cobrado. Sin costes ni impuestos y sin reinversión del dividendo:

En la fórmula, B representa el beneficio en euros y R la rentabilidad en tanto unitario: 0,03 equivale al 3 %. Comprar por 100 €, terminar con un valor de 105 € y cobrar 2 € de dividendo produce un beneficio de 7 € y una rentabilidad simple del periodo del 7 %. Si no hay dividendo, D = 0.

La rentabilidad simple expresa la ganancia o pérdida del periodo en relación con el capital inicial. Aquí medimos el resultado entre la compra y el cierre, sin encadenar rendimientos de subperiodos ni anualizarlo. El 7 % corresponde al periodo considerado; solo será una rentabilidad anual si ese periodo dura un año.

La ausencia de reinversión es un supuesto de este ejemplo, no la definición de rentabilidad simple. Incluimos el dividendo cobrado, pero no el rendimiento adicional que podría generar desde su cobro hasta el cierre.

Por ejemplo, si los 2 € de dividendo obtuvieran un rendimiento del 2 % entre su cobro y el cierre, añadirían 0,04 € al resultado: la rentabilidad pasaría del 7 % al 7,04 %. El efecto es pequeño en este supuesto, pero depende del importe, del tiempo restante y del rendimiento de la reinversión. Lo que dejamos fuera es ese efecto adicional, no el propio dividendo.

Media aritmética, acumulación y media geométrica

La media aritmética describe el rendimiento medio observado por periodo. La tasa geométrica de rentabilidad (TGR), expresada como media por periodo, recoge la capitalización de los rendimientos. Las tres expresiones responden a preguntas distintas: cuál es el promedio de los rendimientos, cuánto se ha acumulado y qué tasa constante produciría ese mismo resultado:

Con +20 % y −20 %, la media aritmética es 0 %, pero 100 pasan a 120 y después a 96: la pérdida acumulada es 4 % y la TGR media, aproximadamente −2,02 % por periodo. La subida se calcula sobre 100 y la bajada sobre 120; por eso no se compensan.

La diferencia procede de la capitalización: cada rendimiento actúa sobre el capital que deja el periodo anterior. La media aritmética resume los rendimientos observados; la geométrica expresa su efecto compuesto mediante una tasa constante. La elección depende de qué quieras medir. La raíz de índice n supone periodos de igual duración y factores de capitalización positivos.

Rentabilidad del gestor: separar rendimiento y aportaciones

Medición de resultados: nivel II / EFA completo.

Hasta aquí, el capital solo cambiaba por el rendimiento de la inversión. ¿Qué ocurre si el inversor aporta o retira dinero? En gestión de carteras, la TGR permite evaluar la rentabilidad del gestor separándola del efecto de esos flujos externos. Es la rentabilidad ponderada por tiempo (TWR, por sus siglas en inglés): se valora la cartera en cada flujo externo y se enlazan las rentabilidades de los subperiodos. La TGR acumulada es el producto de sus factores menos uno; no debe confundirse con la TGR media por periodo.

Sin flujos externos, el cociente final/inicial basta si todos los rendimientos quedan incluidos en el capital. En el ejemplo, (120/100) × (96/120) = 96/100. El capital final de cada subperiodo debe ser el inicial del siguiente; esa continuidad permite simplificar el producto, aunque el importe vaya cambiando.

Con una aportación intermedia cambia el planteamiento. Tras pasar de 100 a 120, el inversor aporta otros 100. El segundo periodo comienza con 220 y, al perder el 20 %, termina en 176. Calcular 176/100 − 1 daría un 76 % que confunde dinero aportado con rentabilidad. El enlace correcto es (120/100) × (176/220) − 1 = −4 %: la aportación no altera la rentabilidad acumulada del gestor.

De la rentabilidad acumulada a la anual. En el ejemplo, la cartera pierde un 4 % entre los dos periodos. Si cada periodo dura un año, la tasa geométrica de rentabilidad anual es (1 − 0,04)^1/2 − 1 ≈ −2,02 %. Es la tasa anual constante que, aplicada durante dos años, produce esa misma pérdida acumulada. Para anualizar importa el tiempo transcurrido: dividir el cálculo en más subperiodos no cambia el número de años de la inversión.

Aportaciones del inversor y decisiones del gestor. Al enlazar las rentabilidades de los subperiodos, evitamos contar el dinero aportado o retirado como una ganancia o una pérdida. En cambio, la decisión del gestor de mantener parte del patrimonio en liquidez sí forma parte de la gestión y queda reflejada en la rentabilidad de la cartera.

Rentabilidad del inversor: la tasa interna de rentabilidad

Para el inversor sí importa cuánto dinero estuvo expuesto a cada subida o bajada. La medida siguiente incorpora tanto las rentabilidades como el importe y el momento de sus aportaciones y cobros.

La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo r que hace cero el valor actual neto (VAN). Fₜ es un flujo desde la perspectiva del inversor: las aportaciones son negativas y los cobros, positivos. En periodos regulares:

El resultado depende del importe y momento de los flujos. Si los dos periodos anteriores son años, el inversor aporta 100 al inicio y otros 100 al cabo de un año, y recupera 176 al final del segundo. Su TIR anual es aproximadamente −8,23 %, frente a una TGR anualizada del −2,02 %. El inversor tenía más dinero expuesto durante la caída. Esta diferencia ayuda a separar su experiencia de rentabilidad del resultado de la gestión; no demuestra por sí sola habilidad o falta de ella.

En otros ejercicios, la ecuación puede tener varias soluciones o ninguna tasa económicamente útil. Antes de interpretar la TIR, comprueba los flujos y la duración de cada periodo. El ejercicio de TIR con la Casio permite seguir el planteamiento y comprobarlo numéricamente.

Rentabilidad esperada de un activo y de una cartera

Las medidas anteriores describen lo ocurrido. Para analizar lo que podría ocurrir, pasamos de los resultados realizados a escenarios con distintas probabilidades. La rentabilidad esperada resume esos escenarios; no garantiza el resultado futuro.

Con escenarios s, probabilidades pₛ que suman uno y rentabilidades Rₛ, la esperanza es una suma ponderada. Para la cartera, wᵢ es la proporción invertida en el activo i:

Usa un mismo horizonte y pesos que sumen uno. La rentabilidad esperada de la cartera es la media ponderada de las rentabilidades esperadas de sus activos. Para medir su riesgo necesitaremos algo más: saber cómo se mueven conjuntamente.

Riesgo, covarianza y correlación

Nivel I / EIP; también incluido en EFA completo.

Dos inversiones pueden tener la misma rentabilidad esperada y resultados posibles muy distintos. La volatilidad mide esa dispersión. Al combinar activos, importa además si sus rendimientos tienden a subir y bajar a la vez.

Volatilidad de un activo

En una distribución de escenarios, la varianza pondera las desviaciones al cuadrado respecto de la esperanza. La volatilidad es su raíz:

σ es desviación típica; σ² es varianza. Si estimas a partir de una muestra histórica, distingue el divisor muestral del poblacional. El ejemplo de volatilidad muestra esa diferencia.

Relación entre dos activos

La covarianza recoge el movimiento conjunto de los rendimientos. La correlación expresa esa relación en una escala común, dividiendo la covarianza por el producto de las dos volatilidades:

La expresión requiere desviaciones típicas positivas. La correlación está entre −1 y +1 y mide asociación lineal; una correlación cero no demuestra independencia. La covarianza se recupera multiplicando ρ_AB por σ_A y σ_B.

Volatilidad de una cartera de dos activos

Podemos expresar la misma volatilidad mediante la covarianza o mediante la correlación. Con covarianza:

Si ambas desviaciones típicas son positivas, sustituimos Cov(R_A, R_B) = ρ_ABσ_Aσ_B y obtenemos la expresión con correlación:

No son dos medidas diferentes: elige la forma que corresponda a los datos del enunciado. Si proporciona la covarianza, introdúcela directamente; si proporciona la correlación, multiplícala por las dos volatilidades. Mantén el mismo horizonte y unidades coherentes.

El último término incorpora el movimiento conjunto. Para pesos no negativos, una correlación inferior a +1 puede reducir el riesgo respecto de la media ponderada de volatilidades. No implica que desaparezcan todos los riesgos de invertir.

Explora cómo cambia el riesgo al mover la correlación →. El caso conserva los mismos activos y permite observar qué cambia y qué permanece fijo.

Cartera de mínima varianza

Nivel II / EFA completo.

Ya sabemos calcular el riesgo de un reparto concreto. Ahora invertimos la pregunta: ¿qué reparto entre los dos activos produce la menor volatilidad? Como la raíz cuadrada es creciente, minimizar la varianza también minimiza la volatilidad.

Con dos activos, w_B = 1 − w_A. Cuando el denominador es positivo, el peso que minimiza la varianza sin imponer límites a los pesos es:

Si no se permiten posiciones cortas, la solución debe quedar entre 0 y 1. Si sale fuera, el mínimo restringido se sitúa en el extremo correspondiente. En el caso degenerado de activos perfectamente correlacionados y con igual volatilidad, todos los repartos tienen la misma varianza.

Tres correlaciones que ayudan a entender la fórmula

ρ = +1. Con pesos no negativos, las volatilidades se ponderan directamente:

El mínimo corresponde al activo de menor volatilidad; si ambas son iguales, todos los repartos empatan.

ρ = 0. Desaparece el término de covarianza:

ρ = −1. En este extremo teórico:

Con volatilidades positivas, esos pesos anulan la volatilidad del modelo. La rentabilidad esperada sigue siendo w_AE(R_A) + w_BE(R_B). No presupongas que una correlación negativa perfecta se mantendrá en una inversión real.

Beta, CAPM y rectas de mercado

Nivel II / EFA completo.

La volatilidad describe las oscilaciones totales de una cartera, pero no indica cuánto responde a los movimientos del mercado. Para distinguir esa exposición utilizamos beta. El modelo de valoración de activos financieros (CAPM, por sus siglas en inglés) relaciona la rentabilidad esperada con ese riesgo de mercado.

Beta de un activo y de una cartera

Tomamos un mercado de referencia m. La beta del activo compara su covarianza con ese mercado y la varianza del propio mercado; la beta de la cartera combina las betas de sus activos según sus pesos:

Beta mide sensibilidad lineal respecto del mercado de referencia, cuya varianza debe ser positiva. La agregación exige betas compatibles y el mismo índice. Una beta baja no prueba que la volatilidad total sea baja.

CML: volatilidad total de carteras eficientes

El modelo ofrece dos rectas que conviene distinguir. La primera relaciona rentabilidad esperada y volatilidad total para las carteras eficientes que combinan el activo sin riesgo y la cartera de mercado:

La línea del mercado de capitales (CML, por sus siglas en inglés) combina el activo sin riesgo con la cartera de mercado bajo los supuestos del modelo. Usa volatilidad como medida de riesgo; no describe cualquier acción aislada.

Si x_f es el peso sin riesgo y la exposición a mercado no es negativa, puede obtenerse a partir del rendimiento buscado o del riesgo:

La primera expresión necesita E(R_m) ≠ R_f; la segunda, σ_m > 0. Pesos sin riesgo negativos representan financiación, no una restricción admitida automáticamente.

SML: rentabilidad de equilibrio según beta

La segunda recta utiliza beta, no volatilidad total. Expresa la rentabilidad esperada de equilibrio que el modelo asocia a la exposición al mercado de un activo o una cartera:

La línea del mercado de títulos (SML, por sus siglas en inglés) representa esta relación del CAPM. A diferencia de la CML, utiliza beta y se aplica a activos o carteras. Estimar una rentabilidad por encima de esta referencia es una discrepancia respecto del modelo, no una garantía de infravaloración.

Para observar cómo se relacionan beta, riesgo y rentabilidad esperada, puedes explorar el laboratorio de CAPM en abernat.com ↗ (se abre en una pestaña nueva). Modifica la beta y el riesgo residual y compara sus efectos dentro del modelo.

Medidas de rentabilidad ajustada al riesgo

Nivel II / EFA completo: Sharpe, Treynor, Jensen, error de seguimiento y ratio de información. Las ampliaciones se señalan por separado.

Con el resultado y el riesgo ya definidos, podemos valorar la gestión. ¿Cuánto rendimiento se ha obtenido por el riesgo asumido? ¿Se ha superado una referencia comparable? Cada medida responde de forma distinta.

En las expresiones siguientes, las medias y riesgos corresponden al mismo periodo y convención. Compara resultados brutos o netos de costes de forma coherente. Un ratio aislado no determina la idoneidad de una inversión.

Sharpe y Treynor

Ambos parten del exceso de rentabilidad sobre el activo sin riesgo. Cambia el denominador: Sharpe utiliza la volatilidad total y Treynor, la exposición al mercado medida por beta.

Aquí R_f se considera constante. Al utilizar riesgos distintos, los dos ratios no son intercambiables. El denominador no puede ser cero; con excesos negativos o betas negativas hay que extremar el cuidado al ordenar carteras.

Alfa de Jensen y alfa de regresión

Jensen plantea otra comparación: cuánto difiere la rentabilidad obtenida de la que corresponde según el CAPM a la beta de la cartera. No divide el resultado por una medida de riesgo.

Un alfa positivo no prueba por sí solo habilidad persistente ni una oportunidad futura.

En una regresión sobre rentabilidades totales, el intercepto u ordenada en el origen se escribe:

No es automáticamente el alfa de Jensen. La equivalencia requiere definir el modelo, por ejemplo una regresión sobre excesos de rentabilidad, y emplear datos compatibles.

Error de seguimiento y ratio de información

Podemos comparar también la cartera con un índice de referencia, sin utilizar el CAPM como referencia de rentabilidad. Nos interesa cuánto se aparta de ese índice y con qué variabilidad lo hace.

La rentabilidad activa del periodo t es aₜ = R_p,t − R_b,t, frente al índice de referencia b («benchmark»). Su desviación típica es el error de seguimiento (TE, por las siglas inglesas de «tracking error»). El ratio de información (IR, por sus siglas en inglés) relaciona la media de rentabilidades activas con ese error. Para la estimación muestral:

Requiere n > 1 y, para el ratio, TE > 0. El numerador es la media de rentabilidades activas, no un alfa elegido con otra definición.

La volatilidad residual de un modelo de mercado es otra medida. Si el residuo es incorrelacionado con el mercado:

Con un intercepto constante y respecto de ese mismo mercado, la relación es TE² = (β_p − 1)²σ_m² + σ_ε². Por tanto, si beta es igual a uno, el error de seguimiento coincide con la volatilidad residual. Mantén el mismo horizonte y convenciones de cálculo.

Por ejemplo, con volatilidad de mercado del 10 % y residual del 3 %, una beta de 1 da un TE del 3 %. Si beta sube a 1,2 y se conserva el riesgo residual, el TE pasa aproximadamente al 3,61 %: incorpora también la diferencia de exposición al mercado.

Al resolver ejercicios: si el enunciado o su metodología llama «tracking error» al riesgo residual, identifica esa convención antes de calcular. Disponer solo de las volatilidades y de beta no basta para presumirla. Fuera del caso de beta igual a uno, no sustituyas una medida por la otra sin justificarlo.

Atribución: de dónde procede la diferencia

Nivel II / EFA completo.

Medir cuánto se ha superado un índice no explica todavía cómo se consiguió. La atribución descompone esa diferencia para relacionarla con las decisiones de reparto y de selección de inversiones.

Para un periodo, R_p es la rentabilidad de la cartera y R_b la de su índice de referencia. Su diferencia total es:

Una descomposición sencilla introduce una cartera intermedia R_c: los pesos de la cartera real, pero las rentabilidades de referencia de cada categoría. Entonces:

Ambos componentes suman exactamente R_p − R_b. La asignación recoge el efecto de los pesos frente al índice de referencia; la selección, la diferencia dentro de las categorías con esta convención.

Hay modelos que separan además interacción, divisa u otros efectos. Declara el método: cambiar la cartera intermedia modifica el reparto de las contribuciones aunque no cambie el exceso total.

Ampliaciones: otras formas de evaluar el resultado

El recorrido principal queda completo con la atribución. Estas medidas amplían la comparación: M² y T² expresan ajustes de riesgo en términos de rentabilidad; Sortino considera las desviaciones por debajo de un objetivo. Su alcance académico se indica en cada apartado.

Modigliani: expresar la comparación en rentabilidad

Ampliación complementaria. M² y T² ayudan a profundizar en la comparación de carteras, pero no figuran expresamente como indicadores en las guías EFA y EFP consultadas. No se presentan aquí como requisitos específicos del examen.

Con el índice de referencia b y los ratios de Sharpe calculados de forma compatible, la diferencia ajustada al riesgo puede escribirse:

Conviene distinguir el nivel de rentabilidad ajustada de la diferencia frente al índice de referencia: ambos aparecen a veces bajo la etiqueta M². El análogo basado en Treynor, bajo una normalización de beta admisible, es:

Es una diferencia ajustada a la beta del índice de referencia, no una medida de volatilidad total. Necesita betas y tasas compatibles.

Sortino: desviaciones por debajo del objetivo

Ampliación EFP. Este ratio sí figura expresamente en el módulo de Gestión de Carteras de la guía EFP.

Fijamos una rentabilidad mínima objetivo τ. Una convención histórica explícita usa los n periodos, asignando cero a los que superan el objetivo:

El objetivo no tiene que ser el tipo sin riesgo. El ratio no está definido si d_τ = 0. Al comparar proveedores, revisa cómo calculan esa desviación: no equivale sin más a la desviación típica de los rendimientos negativos.

De la fórmula a la decisión de cálculo

El recorrido une tres tareas: medir el resultado, comprender el riesgo y evaluar la gestión. Antes de sustituir números, identifica qué te preguntan: ¿rentabilidad o riesgo?, ¿resultado observado o expectativa?, ¿experiencia del inversor o gestión de la cartera? Después fija el periodo, las unidades y la referencia de comparación.

Aplica las relaciones de rentabilidad, volatilidad y mínima varianza en el caso resuelto de una cartera de dos activos, con un gráfico para experimentar con la correlación.

Esta guía explica cómo leer las relaciones. Para localizar el repertorio por temas y condiciones, utiliza el Formulario de teoría de carteras.