Duración de Macaulay y duración modificada de un bono
En esta entrada calculamos paso a paso la duración de Macaulay y la duración modificada de un bono con cupón. Es una pieza básica de la colección de renta fija porque permite entender cómo se mide el riesgo de tipo de interés de un bono.
Qué vas a aprender en este ejemplo
- Qué mide realmente la duración de Macaulay.
- Cómo se calcula el precio de un bono con cupón.
- Cómo obtener la duración de Macaulay a partir de los flujos ponderados.
- Cómo transformar la duración de Macaulay en duración modificada.
- Cómo interpretar el resultado en un ejercicio tipo EFA o EIP.
Idea clave
La duración es una medida fundamental en renta fija porque permite aproximar la sensibilidad del precio de un bono ante cambios en los tipos de interés. Cuanto mayor sea la duración modificada, mayor será la variación aproximada del precio ante una subida o bajada de la TIR.
La duración de Macaulay y la duración modificada están relacionadas, pero no son exactamente lo mismo. La primera se interpreta como un plazo medio ponderado; la segunda se utiliza como medida de sensibilidad.
Diferencia importante para examen
La duración de Macaulay responde a la pregunta: “¿cuál es el plazo medio ponderado de los flujos del bono?”. La duración modificada responde a otra pregunta: “¿cuánto cambia aproximadamente el precio del bono si cambia la TIR?”.
En preguntas tipo test, esta diferencia es clave. Si el enunciado pide duración de Macaulay, el resultado no será el mismo que si pide duración modificada o corregida.
Supuesto práctico
Tenemos un bono con vencimiento a tres años, reembolso a la par, cupón anual del 5% y una TIR del 4%. Se pide calcular su duración de Macaulay y su duración modificada.
Si la pregunta se refiere a la duración de Macaulay, la respuesta correcta es 2,86. Si se pregunta por la duración modificada, el resultado aproximado es 2,75.
Fórmulas necesarias
Para resolver el ejercicio necesitamos tres elementos: el precio del bono, la duración de Macaulay y la duración modificada.
Precio de un bono
El precio de un bono es el valor actual de todos sus flujos futuros: los cupones periódicos y el reembolso final.
Duración de Macaulay
La duración de Macaulay mide el plazo medio ponderado de recuperación de los flujos del bono.
Duración modificada
La duración modificada permite estimar la sensibilidad del precio del bono ante variaciones de la TIR.
Datos del bono
Antes de calcular nada conviene ordenar los datos. Muchos errores en renta fija no aparecen por desconocer la fórmula, sino por confundir cupón, TIR, nominal, precio o reembolso.
| Dato | Valor |
|---|---|
| Nominal | 1.000 euros |
| Cupón anual | 5% |
| Flujo anual de cupón | 50 euros |
| Vencimiento | 3 años |
| Reembolso | 100% del nominal |
| TIR | 4% |
Cálculo del precio del bono
El primer paso consiste en calcular el precio del bono. Descontamos todos los flujos futuros a la TIR del 4%. Como el cupón anual es del 5% y la TIR exigida por el mercado es del 4%, el bono cotiza por encima de la par.
Cálculo de la duración de Macaulay
Para calcular la duración de Macaulay, multiplicamos cada flujo por el periodo en el que se cobra y descontamos esos flujos ponderados a la TIR del bono.
Flujo ponderado: 1 × 50
Flujo ponderado: 2 × 50
Flujo ponderado: 3 × 1.050
La duración de Macaulay del bono es aproximadamente 2,86 años. Esta cifra representa el plazo medio ponderado de recuperación de los flujos del bono.
Cálculo de la duración modificada
Una vez calculada la duración de Macaulay, obtenemos la duración modificada dividiendo entre uno más la TIR.
La duración modificada del bono es aproximadamente 2,75. Esto significa que, ante una subida de un punto porcentual en la TIR, el precio del bono caería aproximadamente un 2,75%, manteniendo constantes el resto de factores.
Resultado final
Una vez calculados el precio, la duración de Macaulay y la duración modificada, el resumen del ejercicio queda así:
| Magnitud | Resultado | Interpretación |
|---|---|---|
| Precio del bono | 1.027,75 | Cotiza sobre la par |
| Duración de Macaulay | 2,86 años | Plazo medio ponderado de los flujos |
| Duración modificada | 2,75 | Sensibilidad aproximada ante cambios en la TIR |
Por tanto, si el test pregunta por la duración de Macaulay, la opción correcta es B. 2,86. Si pregunta por la duración modificada, la respuesta aproximada es A. 2,75.
Comentario para examen EFA/EIP
En un examen tipo EFA o EIP, este ejercicio puede resultar tedioso si se resuelve completamente a mano. Lo importante es comprender la secuencia: primero se calcula el precio del bono, después se ponderan los flujos por el periodo y finalmente se obtiene la duración modificada dividiendo la duración de Macaulay entre uno más la TIR.
También conviene leer con mucha atención el enunciado. Si pide duración de Macaulay, la respuesta será 2,86. Si pide duración modificada o corregida, la respuesta será 2,75.
Cómo hacerlo con la Casio FC-200V
La calculadora financiera Casio FC-200V permite acelerar el cálculo, especialmente cuando el examen exige obtener precios, TIR o duración. Aun así, es importante entender qué representa cada dato.
Calcular el precio del bono
Entra en la función BOND de la calculadora. Selecciona el modo por periodos, introduce N = 3, RDV = 100, CPN = 5 y YLD = 4. Después resuelve por PRC.
El resultado aproximado será PRC = -102,775091. Al estar expresado como porcentaje sobre nominal, equivale a 1.027,75 euros para un nominal de 1.000 euros.
Calcular el numerador de la duración
En la función CASH FLOW, introduce como flujos los importes ponderados por el periodo: 0, 50, 100 y 3.150.
Descuenta esos flujos a la TIR del 4%. El valor actual obtenido será aproximadamente 2.940,87.
Aplicar la fórmula final
Divide el valor actual de los flujos ponderados entre el precio del bono: 2.940,87 / 1.027,75 = 2,8615.
Después divide la duración de Macaulay entre 1,04 para obtener la duración modificada: 2,8615 / 1,04 = 2,7514.
Resumen didáctico
Calcula el precio
Descuenta los cupones y el reembolso final a la TIR del bono.
Resultado: 1.027,75
Calcula la duración
Pondera cada flujo por el periodo en el que se cobra.
Resultado: 2,86 años
Corrige la duración
Divide la duración de Macaulay entre uno más la TIR.
Resultado: 2,75
Errores frecuentes
- Confundir duración de Macaulay con duración modificada.
- Olvidar incluir el reembolso del nominal en el último flujo.
- Usar la TIR en porcentaje en lugar de en tanto unitario dentro de la fórmula.
- Interpretar la duración modificada como años sin relacionarla con la sensibilidad del precio.
- No leer bien si el enunciado pregunta por duración de Macaulay o duración corregida.
Guía de calculadora financiera
Duración, bonos y sensibilidad dentro de una ruta completa
Este ejemplo de duración de Macaulay forma parte de una ruta práctica para aprender a usar la calculadora financiera Casio FC-200V en EFA/EIP. La guía central te ayuda a ordenar funciones, ejercicios y errores frecuentes antes de practicar casos de renta fija.
Ver guía completa de Casio FC-200VMás recursos sobre duración, bonos y renta fija
Este ejemplo forma parte de la colección de renta fija y complementa el caso práctico de duración y sensibilidad de bonos y el bloque de renta fija fórmulas EFA.
