Renta fija — Fórmulas EFA

Fórmulas de valoración de bonos y letras, medidas de sensibilidad al tipo de interés y cálculo de TIR. Las fórmulas de duración y sensibilidad son las de mayor frecuencia en el examen EFA.

EFA · Nivel 2 9 fórmulas Alta frecuencia en examen
Resolución con calculadora financiera Casio
FC-200V — función directa específica
FC-200V y FC-100V — CMPD/SMPL
Cálculo manual
Relación fundamental: precio y tipo de interés se mueven en sentido contrario. Cuando los tipos suben, el precio del bono baja. Cuanto mayor es la duración, mayor es esa caída.
Precio y TIR
Valoración de letras y bonos, y rentabilidad implícita a partir del precio de mercado.
Precio de una letra del Tesoro (≤ 1 año)
EFAManual
\( P = \dfrac{N}{1 + r \cdot \dfrac{t}{365}} \)
N valor nominal · r tipo de interés · t días al vencimiento

Ejemplo: Letra 180 días, N=1.000€, r=2,5% → P = 987,83 €

En el examen: te pueden dar el precio y pedir la TIR — usa la fórmula inversa.

Casio SMPL: PV, FV y n (días) → I% directo.

Precio de un bono con cupones anuales
Muy frecuenteFC-200V
\( P = \sum_{t=1}^{n} \dfrac{C}{(1+r)^t} + \dfrac{N}{(1+r)^n} \)
C cupón anual · N nominal · r TIR · n años

Ejemplo: Bono 1.000€, cupón 5%, TIR 4%, 3 años → P = 1.027,75 €

Regla: cupón > TIR → sobre la par. Cupón < TIR → bajo la par.

FC-200V BOND: Settlement, Maturity, Coupon%, Yield% → Price y cupón corrido automáticos.

TIR implícita de una letra del Tesoro
EFAManual
\( r = \dfrac{N – P}{P} \cdot \dfrac{365}{t} \)
N nominal · P precio de compra · t días

Ejemplo: Letra 90 días, P=990€ → r = 4,10%

TIR de un bono — YTM
EFAFC-200V/100V
\( P = \sum_{t=1}^{n} \dfrac{C}{(1+YTM)^t} + \dfrac{N}{(1+YTM)^n} \)
Se despeja YTM dado el precio. N, PV (neg), PMT=cupón, FV=nominal → I/Y.

FC-200V BOND: Price → Yield. FC-100V CMPD: N, PV, PMT, FV → I%.

Duración
Plazo medio ponderado de recuperación. Cuanto mayor la duración, mayor la exposición al riesgo de tipo de interés.
Duración de Macaulay
Muy frecuenteFC-200V
\( D = \dfrac{\displaystyle\sum_{t=1}^{n} t \cdot \dfrac{FC_t}{(1+r)^t}}{P} \)
FC_t flujo en t · r TIR · P precio del bono

Atajo: cupón cero → D = plazo. Con cupones → D siempre menor que el plazo.

FC-200V BOND: precio → flecha abajo → Duration y Modified Duration.

Duración corregida (Modified Duration)
Muy frecuenteFC-200V
\( D^* = \dfrac{D}{1 + r} \)
D duración Macaulay · r TIR del bono

Ejemplo: D=2,86, TIR=4% → D* = 2,86/1,04 = 2,75 años

Paso previo para calcular variación de precio ante cambios de tipos.

FC-200V BOND: Modified Duration automática junto a Macaulay.

Duración corregida en porcentaje
EFA
\( D^*_{\%} = \dfrac{D}{1+r} \cdot 100 \)

Ejemplo: D*=2,75 → tipos +1% → precio cae aprox. 2,75%

Sensibilidad al tipo de interés
Cuantifica en euros la variación del precio ante un movimiento de tipos.
Variación absoluta del precio
Muy frecuenteManual
\( \Delta P \approx -D^* \cdot \Delta r \cdot P \)
D* duración corregida · Δr variación del tipo · P precio actual

Ejemplo: D*=2,75, P=1.027,75€, +50pb → ΔP ≈ −14,13 €

El signo negativo es fundamental: tipos suben → precio baja.

Variación porcentual del precio
EFA
\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D^* \cdot \Delta r \)

Ejemplo: D*=2,75, +50pb → ΔP/P ≈ −1,375%

Valor del punto básico (PVBP / DV01)
EFA
\( PVBP = D^* \cdot P \cdot 0{,}0001 \)
1 punto básico = 0,01%. Resultado en € por pb.

Ejemplo: D*=2,75, P=1.027,75€ → PVBP = 0,283 €/pb

TIR (a priori) vs TRE (a posteriori)
La TIR se calcula antes de invertir. La TRE mide lo que realmente se obtuvo.

¿En qué se diferencian?

TIR — a priori

Se calcula antes. Asume reinversión de cupones al mismo tipo. Rentabilidad esperada.

TRE — a posteriori

Se calcula después con flujos reales. Refleja el tipo real de reinversión. Rentabilidad realizada.

Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
EFACMPD
\( TRE = \left(\dfrac{CF_{total}}{P_0}\right)^{\!\frac{1}{n}} – 1 \)
CF_total cupones reinvertidos + precio venta · P₀ precio compra · n años

Ejemplo: Bono 990€, 3 años, cupones al 3% → CF=1.164,05€ → TRE = 5,55%

TRE > TIR si reinviertes a tipo mayor. TRE < TIR si reinviertes a tipo menor.

CMPD: N=años, PV=−P₀, PMT=0, FV=CF_total → I% = TRE.

Rentabilidad vendiendo antes del vencimiento
EFA
\( R = \dfrac{P_{venta} – P_{compra} + \displaystyle\sum C_i}{P_{compra}} \)
P_venta · P_compra · ΣCᵢ cupones cobrados

Ejemplo: Compra 990€, venta 1.010€, 2 cupones 40€ → R = 10,10%

TRE simplificada sin anualizar. Si período > 1 año, usar fórmula TRE completa.

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