Aquí os dejo un pequeño ejemplo de cómo calcular la duración (o duración de Macaulay) y la duración corregida (o duración de Hicks) de un bono con la calculadora financiera CASIO FC200v.
La duración a secas (o duración de Macaulay) es la media ponderada de los distintos vencimientos de los flujos de caja, ponderados por el valor actual de cada uno de esos flujos. Se expresa en años o en abstracto, y lo que refleja son las variaciones relativas del precio ante variaciones relativas de la TIR. Este concepto fue desarrollo por Frederick Macaulay en 1938, de ahí su nombre.
$$ D=\frac{\sum_{t=1}^n\frac{F_t\cdot t}{\left(1+TIR\right)^t}}{P} $$
La duración modificada o corregida (o duración de Hicks) es el cociente entre: la duración de Macaulay y uno más la TIR del activo; por lo que se basa en el concepto de Macaulay. Esta medida refleja variaciones relativas del precio ante variaciones absolutas de la TIR y se expresa en años o porcentaje. En este caso, fue el economista John Hicks en 1939 quien desarrollo esta relación matemática.
$$D_{corregida}=\frac{Duracion}{\left(1+TIR\right)} $$
Espero que os resulte de utilidad. Creo que si os cae en el examen es una faena ya que es realmente muy tedioso de resolver sin emplear el potencial que ofrece la magnífica calculadora financiera CASIO FC200v. Sin duda, será tu mejor aliada el día del examen.
Por cierto, dejo los comentarios de este post abierto para resolver posibles dudas.
Saludos y hasta pronto!
SUPUESTO: Tenemos hoy un bono con vencimiento a tres años (sin años bisiestos), reembolso del 100% sobre el nominal, cupón del 5% anual y una TIR del 4%. ¿Cuál será su duración (o duración de Macaulay)? ¿Y su duración corregida (o duración de Hicks)?:
- A. 2.75
- B. 2.86
- C. 2.91
- D. 2.42
SOLUCIÓN: la respuesta correcta es la A.
Para realizar este calculo la fórmula que debemos emplear es la siguiente:
$$ D=1\cdot\frac{F_1\left(1+TIR\right)^{-1}}{P}+2\cdot\frac{F_2\left(1+TIR\right)^{-2}}{P}+\…+n\cdot\frac{F_n\left(1+TIR\right)^{-n}}{P} $$
NOTA: esta expresión es una forma alternativa de mostrar la fórmula de la Duración que aparece más arriba con el ánimo de hacerla más intuitiva.
En primer lugar vamos a calcular el precio del bono que será nuestro dato en el denominador (P).
Empleamos para ello la calculadora financiera CASIO FC200v:
i. Función BOND (en el menú de funciones financieras).
ii. SET: Annu/Term (no "date", pues no nos dan fechas sino periodos).
iii. N=3 (los tres años que dura el bono hasta su vencimiento).
iv. RDV=100 (reembolso a la par, 100% sobre el nominal).
v. CPN: 5% (nos dan el dato en el enunciado).
vi. PRC: será la incógnita por la que tendremos que resolver (solve).
vii. YLD (o TIR): 4% ( es un dato que nos dan también en el enunciado).
Una vez introducidos todos los datos anteriores, resolvemos por PRC y obtenemos el resultado (PRC = -102.775091); vemos que PRC=CST, esto significa que no hay cupón corrido ya que el día de la valoración del bono coincide con la emisión (o bien, porque acaba de pagar el cupón en ese preciso instante).
NOTA: vemos que está en porcentaje sobre el nominal (ojo con esto). Si hay cupón corrido, se cojera como precio el coste (CST) y NO el precio (PRC). Esto es debido a que el precio ex-cupón o precio limpio es sólo para eliminar las posibles distorsiones en el precio por las plusvalías implícitas ya devengadas y no cobradas. Pero en el caso de que haya cupón corrido el precio efectivamente pagado en el mercado será el coste (CST), y por ello será el dato que debemos introducir en el denominador de la fórmula.
En segundo lugar, ya conocido el precio del bono tenemos que calcular el numerador de forma que: cada uno de los flujos se ponderará por el número del periodo al que corresponda dicho flujo (primer flujo lo multiplico por 1,…flujo del periodo n, lo multiplicaremos por n):
Empleamos para ello la calculadora financiera CASIO FC200v:
i. Función CASH FLOW (en el menú de funciones financieras).
ii. I% = 4% Introducimos la TIR a la que se han de descontar los flujos (el 4% del enunciado).
iii. Cash=D.Editor x ; Aquí hay que pulsar EXE cuando tenemos la función sombreada (si no situarse sobre ella con el cursor) y se abrirá el editor de flujos de caja.
NOTA: en el caso de que te aparezca en el "Cash=D.Editor x" la columna Y en lugar de solamente la columna X, tenemos que definir en el menú "STAT" la opción "1-VAR:EXE" y de esta forma aparecerá sólo la columna de X cuando regreses de nuevo al "Cash=D.Editor x" de la función "CASH FLOW".
Ahora completamos todos los flujos de caja ponderándolos por el número del periodo esto es:
- Momento 1 = 0 (porque es nuestro momento cero y el primer flujo será al final del periodo).
- Momento 2 = 1 x 50 = 50 (el primer cupón multiplicado por n=1).
- Momento 3 = 2 x 50 = 100 (el segundo cupón multiplicado por n=2).
- Momento 4 = 3 x (50 + 1.000) = 3.150 (el tercer y último cupón multiplicado por n=3 + los 1.000 € del nominal reembolsado a la par, 100% sobre el nominal).
Una vez que tengamos los 4 flujos de caja calculados, pulsamos ESC (escape) para volver al menú de la Función CASH FLOW. Ahora podemos resolver (solve) por NPV (net presente value, que
será el valor actual de esos flujos descontados a la TIR del 4%, que no es otra cosa que el precio o dato del numerador de la fórmula).
NOTA: debemos recordar que el primer flujo será cero, por tanto si es un bono de 3 años, habrán un total de cuatro flujos siendo el primero de ellos nulo.
- Ahora conocemos: NPV = 2.940,871074
- Y, también: PRC= -102.775091
NOTA: Tenemos que multiplicar por -10 para obtener el precio en euros, ya que a la hora de obtener el precio del bono lo hemos obtenido como porcentaje del nominal y no expresado en unidades monetarias como el numerador. Por tanto si homogeneizamos los datos tenemos que: -102.775091 x (-10) = 1.027,75091 euros, que es definitivamente el dato que debemos introducir en el denominador de la fórmula.
Luego, ya podremos aplicar la fórmula y calcular los resultados definitivos:
$$ D=\frac{2940.871074}{1027.75091}=2.8615 $$
$$ D_{corregida}=\frac{Duracion}{\left(1+r\right)}=\frac{2.8615}{\left(1+0.04\right)}=2.75 $$
Por tanto ahora sabemos que la duración de este bono es de 2.8615 años. Y la duración corregida de 2.75%; es decir, la sensibilidad del precio del bono en el mercado por cada punto de variación en los tipos de interés.
NOTA: A diferencia de la duración de Macaulay -que se mide en años o en abstracto- la duración modificada es un porcentaje (hay quien también la mide en años) que nos indica la variación que se produce en el precio de mercado de un activo financiero por cada punto de variación en los tipos de interés.
Bibliografía:
