Duración de Macaulay y duración modificada de un bono
En esta entrada calculamos paso a paso la duración de Macaulay y la duración modificada de un bono con cupón. Es una pieza básica de la colección de renta fija porque permite entender cómo se mide el riesgo de tipo de interés de un bono. El ejemplo sirve para preparar EIP (European Investment Practitioner) y EFA (European Financial Advisor).
- Tema
- Renta fija
- Ejercicio
- Un bono
- Concepto clave
- Duración
- Preparación
- EFA / EIP
Idea clave
La duración es una medida fundamental en renta fija porque permite aproximar la sensibilidad del precio de un bono ante cambios en los tipos de interés. Cuanto mayor sea la duración modificada, mayor será la variación aproximada del precio ante una subida o bajada de la TIR (tasa interna de rentabilidad).
La duración de Macaulay y la duración modificada están relacionadas, pero no son exactamente lo mismo. La primera se interpreta como un plazo medio ponderado; la segunda se utiliza como medida de sensibilidad.
Qué vas a aprender en este ejemplo
- Qué mide realmente la duración de Macaulay.
- Cómo se calcula el precio de un bono con cupón.
- Cómo obtener la duración de Macaulay a partir de los flujos ponderados.
- Cómo transformar la duración de Macaulay en duración modificada.
- Cómo interpretar el resultado en un ejercicio tipo EFA o EIP.
Diferencia importante para examen
La duración de Macaulay responde a la pregunta: “¿cuál es el plazo medio ponderado de los flujos del bono?”. La duración modificada responde a otra pregunta: “¿cuánto cambia aproximadamente el precio del bono si cambia la TIR?”.
En preguntas tipo test, esta diferencia es clave. Si el enunciado pide duración de Macaulay, el resultado no será el mismo que si pide duración modificada o corregida.
Fórmulas necesarias
Para resolver el ejercicio necesitamos tres elementos: el precio del bono, la duración de Macaulay y la duración modificada. Aquí trabajamos con pagos anuales y periodos completos: r es la TIR anual en tanto unitario, t mide los años hasta cada cobro y Ft es el flujo recibido. Con otra frecuencia de pago hay que adaptar los periodos y el tipo de descuento.
Precio de un bono
El precio de un bono es el valor actual de todos sus flujos futuros: los cupones periódicos y el reembolso final.
Duración de Macaulay
La duración de Macaulay mide el plazo medio ponderado de recuperación de los flujos del bono.
Duración modificada
La duración modificada permite estimar la sensibilidad del precio del bono ante variaciones de la TIR. La división entre 1 + r corresponde a la convención anual de este ejemplo. La estimación del cambio de precio es una aproximación local: cuanto mayor sea el cambio de TIR, más puede separarse del cambio real del precio.
Supuesto práctico
Tenemos un bono con vencimiento a tres años, reembolso a la par, cupón anual del 5% y una TIR del 4%. Se pide calcular su duración de Macaulay y su duración modificada.
Si la pregunta se refiere a la duración de Macaulay, la respuesta correcta es 2,86. Si se pregunta por la duración modificada, el resultado aproximado es 2,75.
Datos del bono
Antes de calcular nada conviene ordenar los datos. Muchos errores en renta fija no aparecen por desconocer la fórmula, sino por confundir cupón, TIR, nominal, precio o reembolso.
| Dato | Valor |
|---|---|
| Nominal | 1.000 euros |
| Cupón anual | 5% |
| Flujo anual de cupón | 50 euros |
| Vencimiento | 3 años |
| Reembolso | 100% del nominal |
| TIR | 4% |
Cálculo del precio del bono
El primer paso consiste en calcular el precio del bono. Descontamos todos los flujos futuros a la TIR del 4%. Como el cupón anual es del 5% y la TIR exigida por el mercado es del 4%, el bono cotiza por encima de la par.
Cálculo de la duración de Macaulay
Para calcular la duración de Macaulay, multiplicamos cada flujo por el periodo en el que se cobra y descontamos esos flujos ponderados a la TIR del bono.
Flujo ponderado: 1 × 50
Flujo ponderado: 2 × 50
Flujo ponderado: 3 × 1.050
La duración de Macaulay del bono es aproximadamente 2,86 años. Esta cifra representa el plazo medio ponderado de recuperación de los flujos del bono.
¿Qué cambia si el bono paga más cupón?
El vencimiento sigue siendo de tres años. Prueba a quitar el cupón y después a aumentarlo: ¿se recibe el valor igual de tarde?
Nominal de 1.000 €, reembolso a la par, pagos anuales y TIR fija del 4 %. Solo varía el cupón, entre 0 % y 12 % para este ejemplo. Este explorador no modifica la solución fija del artículo.
Se muestra el escenario inicial. Los controles están disponibles cuando JavaScript está activo; la explicación y el ejercicio completo siguen siendo legibles sin él.
Barras: peso de cada cobro en el precio. Triángulo: plazo medio ponderado de los cobros.
Duración de Macaulay: 2,8615 añosVencimiento: 3 años · Precio: 1027,75 €.
Al cobrar cupones antes del vencimiento, una parte del valor se recibe antes. La media ponderada queda por debajo de 3 años.
Pesos: año 1, 4,68 %; año 2, 4,50 %; año 3, 90,82 %. Se calculan antes de redondear.
Cálculo de la duración modificada
Una vez calculada la duración de Macaulay, obtenemos la duración modificada dividiendo entre uno más la TIR.
La duración modificada del bono es aproximadamente 2,75. Esto significa que, ante una subida de un punto porcentual en la TIR, el precio del bono caería aproximadamente un 2,75%, manteniendo constantes el resto de factores.
Resultado final
Una vez calculados el precio, la duración de Macaulay y la duración modificada, el resumen del ejercicio queda así:
| Magnitud | Resultado | Interpretación |
|---|---|---|
| Precio del bono | 1.027,75 | Cotiza sobre la par |
| Duración de Macaulay | 2,86 años | Plazo medio ponderado de los flujos |
| Duración modificada | 2,75 | Sensibilidad aproximada ante cambios en la TIR |
Por tanto, si el test pregunta por la duración de Macaulay, la opción correcta es B. 2,86. Si pregunta por la duración modificada, la respuesta aproximada es A. 2,75.
Para trabajar con tus propios datos, utiliza la calculadora gratuita de bonos: precio, cupón corrido y duración. Revisa sus convenciones de fechas antes de comparar resultados con un ejercicio.
Comentario para examen EFA/EIP
En un examen tipo EFA o EIP, este ejercicio puede resultar tedioso si se resuelve completamente a mano. Lo importante es comprender la secuencia: primero se calcula el precio del bono, después se ponderan los flujos por el periodo y finalmente se obtiene la duración modificada dividiendo la duración de Macaulay entre uno más la TIR.
También conviene leer con mucha atención el enunciado. Si pide duración de Macaulay, la respuesta será 2,86. Si pide duración modificada o corregida, la respuesta será 2,75.
Cómo hacerlo con la Casio FC-200V
La calculadora financiera Casio FC-200V permite acelerar el cálculo, especialmente cuando el examen exige obtener precios, TIR o duración. Aun así, es importante entender qué representa cada dato.
El modelo actual es la Casio FC-200V-2 (nueva pestaña). Las referencias a FC-200V identifican la calculadora utilizada en estos ejemplos; consulta el manual de tu edición para comprobar las teclas y los ajustes.
Calcular el precio del bono
Entra en la función BOND de la calculadora. Selecciona el modo por periodos, introduce N = 3, RDV = 100, CPN = 5 y YLD = 4. Después resuelve por PRC.
El resultado aproximado será PRC = -102,775091. Al estar expresado como porcentaje sobre nominal, equivale a 1.027,75 euros para un nominal de 1.000 euros.
Calcular el numerador de la duración
En la función CASH FLOW, introduce como flujos los importes ponderados por el periodo: 0, 50, 100 y 3.150.
Descuenta esos flujos a la TIR del 4%. El valor actual obtenido será aproximadamente 2.940,87.
Aplicar la fórmula final
Divide el valor actual de los flujos ponderados entre el precio del bono: 2.940,87 / 1.027,75 = 2,8615.
Después divide la duración de Macaulay entre 1,04 para obtener la duración modificada: 2,8615 / 1,04 = 2,7514.
Resumen didáctico
Calcula el precio
Descuenta los cupones y el reembolso final a la TIR del bono.
Resultado: 1.027,75
Calcula la duración
Pondera cada flujo por el periodo en el que se cobra.
Resultado: 2,86 años
Corrige la duración
Divide la duración de Macaulay entre uno más la TIR.
Resultado: 2,75
Errores frecuentes
- Confundir duración de Macaulay con duración modificada.
- Olvidar incluir el reembolso del nominal en el último flujo.
- Usar la TIR en porcentaje en lugar de en tanto unitario dentro de la fórmula.
- Interpretar la duración modificada como años sin relacionarla con la sensibilidad del precio.
- No leer bien si el enunciado pregunta por duración de Macaulay o duración corregida.
Una breve mirada al origen de la duraciónOcultar explicación
Frederick Macaulay presentó la duración en 1938 como una forma de resumir cuándo se reciben los cobros de un bono, ponderándolos por su valor actual. Puede consultarse su estudio original publicado por el NBER (en inglés) (nueva pestaña).
Hicks formuló en 1939 un «periodo medio» equivalente, relacionado con la elasticidad. Esta conexión se examina en una investigación de historia del pensamiento económico (en inglés) (nueva pestaña).
Como analogía didáctica, imagina un punto de equilibrio entre los cobros, dando a cada uno el peso de su valor actual. Esa imagen ayuda a entender la media ponderada; no atribuye al concepto un origen en la física.
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