Caso práctico: Duración y Sensibilidad (Renta Fija)

 

SUPUESTO

Dados los siguientes bonos:

 

Bono Cupón Anual (%) Vencimiento (años) TIR (%) Precio (euros) Duración Corregida (años)
A 0,0 10 6
B 3,0 3 3
C 5,0 2 2

Y sabiendo que todos los bonos se amortizan al 100% al vencimiento de los mismos.

 

Se pide:

  1. Rellene las casillas en blanco (precio y duración corregida).
  2. ¿Cuál será el nuevo precio aproximado que experimentara el bono B, si los tipos
    de interés aumentan en 50 p.b.?

SOLUCIÓN

Pregunta 1: Para calcular el precio de un bono aplicamos la siguiente fórmula,

\[P_0=\sum_{ t=1}^{ n}\frac{F_t}{(1+TIR)^{t}}\]

donde,

  • \(P_0\), es el precio entero de un bono o valor actual del mismo (\(V_0\)).
  • \(F_t\), Flujos a percibir por la tenencia de un bono (cupón y principal).
  • \(TIR\), es la Tasa Interna de Rendimiento (o Rentabilidad).
  • \(t\), es el tiempo.

Y, para el cálculo de la Duración corregida primero hemos de calcular la Duración de Macaulay (o simplemente Duración). Que viene dada por la siguiente expresión:

\[D=\frac{\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t\cdot t}{\left(1+TIR\right)^t}}{P}\]

donde,

  • \(D\), Duración de Macaulay.
  • \(F_t\), Flujos a percibir por la tenencia de un bono (cupón y principal).
  • \(P\), es el precio entero de un bono o valor actual del mismo (\(V_0\)).
  • \(TIR\), es la Tasa Interna de Rendimiento (o Rentabilidad).
  • \(t\), es el tiempo.

Por tanto, conocida la Duración de Macaulay (o simplemente Duración) ya podemos calcular la Duración corregida a partir de la siguiente expresión:

\[D_{corregida}=\frac{Duracion\,de\, Macaulay}{\left(1+TIR\right)}=\frac{D}{\left(1+TIR\right)} \]

donde,

  • \(D_{corregida}\), será la Duración corregida.
  • \(D\), Duración de Macaulay.
  • \(TIR\), es la Tasa Interna de Rendimiento (o Rentabilidad).

 

  • Para el Bono A (notesé que este es un bono cupón cero) tenemos que su precio será,

\[P_{A,0}=\frac{F_t}{(1+TIR)^{t}}=\frac{100}{(1+0.06)^{10}}=55.83947769\]
La Duración de Macaulay, para un bono del tipo cupón cero, la duración coincide con el plazo hasta su vencimiento (10 años en este caso). Luego,

\[D_A=10\,años\]
Nota: sin embargo, para un bono clásico parte de su valor actual
se deriva de la corriente de los flujos de caja habidos antes de su vencimiento, lo
que hace que su duración sea menor que el plazo hasta su vencimiento.

Y, finalmente, la Duración corregida del bono A será,

\[D_{corregida,A}=\frac{D}{\left(1+TIR\right)}=\frac{10}{(1+0.06)}=9.4339\]

  • Para el Bono B (notesé que este es un bono clásico) tenemos que su precio será,

\[P_{0,B}=\frac{3}{(1+0.03)^{1}}+\frac{3}{(1+0.03)^{2}}+\frac{103}{(1+0.03)^{3}}=100\]
La Duración de Macaulay,

\[D_{0,B}=\frac{1\cdot\left(\frac{3}{(1+0.03)^{1}}\right)+2\cdot\left(\frac{3}{(1+0.03)^{2}}\right)+3\cdot\left(\frac{103}{(1+0.03)^{3}}\right)}{100}\]

\[D_{0,B}=\frac{291.3469696}{100}=2.913469696\]

Y, finalmente, la Duración corregida del bono B será,

\[D_{corregida,B}=\frac{D_B}{\left(1+TIR\right)}=\frac{2.913469696}{(1+0.03)}=2.828611355\]

 

  • Para el Bono C (notesé que este es un bono clásico al igual que el B) tenemos que su precio será,

\[P_{0,C}=\frac{5}{(1+0.02)^{1}}+\frac{102}{(1+0.05)^{2}}=105.8246828\]

La Duración de Macaulay,

\[D_{C}=\frac{1\cdot\left(\frac{5}{(1+0.02)^{1}}\right)+2\cdot \left(\frac{105}{(1+0.02)^{2}}\right)}{105.8246828}\]

\[D_{C}=\frac{206.7474048}{105.8246828}=1.953678474\]

Y, finalmente, la Duración corregida del bono B será,

\[D_{corregida,C}=\frac{D_C}{\left(1+TIR\right)}=\frac{2.913469696}{(1+0.02)}=1.915371053\]

Luego, la tabla quedaría como sigue:

Bono Cupón Anual (%) Vencimiento (años) TIR (%) Precio (euros) Duración Corregida (años)
A 0,0 10 6 55,83 9,43
B 3,0 3 3 100,00 2,82
C 5,0 2 2 105,82 1,91

Pregunta 2: Para estimar el efecto en precio ante variaciones en la TIR (tipos de interés) utilizamos la siguiente fórmula,

\[\frac{\Delta P}{P}\simeq \left(-D_{corregida}\right)\cdot\Delta TIR\]

Luego, si sustituimos la \(D_{corregida,B}=2.82\) y la \(\Delta TIR=0.50\%\) tenemos que:

\[\frac{\Delta P_B}{P_B}\simeq-2.828611355\cdot0.5\%=-1.414305\]

Entonces, de cumplirse este alza en los tipos de interés, el precio final del bono se estima que caería hasta el:

\[P_{f,B}=P_{0,B}-\frac{\Delta P_B}{P_B}=100-1.414305=98.585694(98.59\%)\]

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