Renta fija · Caso práctico

Caso práctico de duración y sensibilidad de bonos

Tres bonos, tres formas distintas de responder a una variación de la TIR. Calculamos su precio y su duración modificada y comprobamos hasta dónde llega la aproximación por duración.

En este artículo

Supuesto y datos
Fórmulas necesarias
Cálculos por bono
Comparación de resultados
Sensibilidad y límites

Supuesto y datos

Calcula el precio y la duración modificada de los bonos A, B y C. Después, estima el precio del bono B si su TIR pasa del 3 % al 3,5 %.

Los tres tienen un nominal de 100 unidades, reembolso íntegro al vencimiento y flujos fijos, sin opciones de amortización anticipada. Los cupones se pagan anualmente y la TIR es anual efectiva. Valoramos al inicio de un periodo de cupón, sin cupón corrido: el primer flujo se recibe dentro de un año. El precio se expresa por cada 100 de nominal.

Condiciones de los tres bonos
Bono	Cupón anual	Vencimiento	TIR
A	0 %	10 años	6 %
B	3 %	3 años	3 %
C	5 %	2 años	2 %

Antes de calcular, observa los flujos: A solo paga al vencimiento; B y C devuelven parte del valor antes, mediante cupones. Esa diferencia será importante al interpretar la duración.

Fórmulas necesarias

Usaremos P para el precio, F_t para el flujo recibido al final del año t, n para el vencimiento y r para la TIR en tanto unitario.

Precio: descontar los flujos

$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t}{(1+r)^t}$$

Duración de Macaulay: ponderar los plazos

$$D=\frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{n}t\frac{F_t}{(1+r)^t}}{P}$$

Es el plazo medio de los flujos, ponderado por su valor actual. Aquí se expresa en años.

Duración modificada: estimar la sensibilidad

$$D_{\mathrm{mod}}=\frac{D}{1+r}$$

También se llama duración corregida. Esta expresión corresponde a la periodicidad anual del supuesto; no debe trasladarse sin ajuste a cupones semestrales.

Cálculos por bono

Seguimos el mismo orden: precio, duración de Macaulay y duración modificada. Conservamos todos los decimales en las operaciones y redondeamos solo al presentar los resultados.

Bono A · Cupón cero

Un único cobro dentro de diez años

Descontamos las 100 unidades del reembolso al 6 %.

$$P_A=\frac{100}{1{,}06^{10}}\approx55{,}8395$$

Al no haber cupones intermedios, toda la ponderación recae en el año 10. Por eso su duración de Macaulay coincide con el vencimiento.

$$\begin{aligned}D_A&=10\\D_{\mathrm{mod},A}&=\frac{10}{1{,}06}\approx9{,}4340\end{aligned}$$

Bono B · Cupón del 3 %

El cupón coincide con la TIR

Recibimos 3 unidades en los años 1 y 2, y 103 en el año 3. Con una TIR del 3 %, el precio coincide con el nominal: cotiza a la par.

$$\begin{aligned}P_B&=\frac{3}{1{,}03}+\frac{3}{1{,}03^2}\\&\quad+\frac{103}{1{,}03^3}=100\end{aligned}$$

Para obtener la duración, multiplicamos el valor actual de cada flujo por el año en que se cobra y dividimos la suma por el precio.

$$D_B=\frac{\begin{aligned}&\frac{3}{1{,}03}+2\frac{3}{1{,}03^2}\\&\quad+3\frac{103}{1{,}03^3}\end{aligned}}{100}\approx2{,}9135$$

$$D_{\mathrm{mod},B}=\frac{D_B}{1{,}03}\approx2{,}8286$$

Bono C · Cupón del 5 %

El cupón supera la TIR

Los flujos son 5 unidades al final del primer año y 105 al final del segundo. Al descontarlos al 2 %, el precio queda por encima del nominal.

$$P_C=\frac{5}{1{,}02}+\frac{105}{1{,}02^2}\approx105{,}8247$$

$$D_C=\frac{\frac{5}{1{,}02}+2\frac{105}{1{,}02^2}}{P_C}\approx1{,}9537$$

$$D_{\mathrm{mod},C}=\frac{D_C}{1{,}02}\approx1{,}9154$$

Comparación de resultados

Precio por cada 100 de nominal, vencimiento y duración modificada
Bono	Precio	Vencimiento	Duración modificada
A	55,84	10 años	9,4340
B	100,00	3 años	2,8286
C	105,82	2 años	1,9154

A presenta la mayor sensibilidad porcentual ante una misma variación pequeña de la TIR; C, la menor. El precio por sí solo no permite ordenar ese riesgo. Tampoco conviene comparar únicamente el vencimiento: la duración incorpora cuándo se reciben todos los flujos.

Sensibilidad del bono B

La subida del 3 % al 3,5 % equivale a 50 puntos básicos: 0,5 puntos porcentuales, o 0,005 en tanto unitario. La aproximación de primer orden es:

$$\frac{\Delta P}{P}\approx-D_{\mathrm{mod}}\,\Delta r$$

Aplicamos la duración modificada del bono B a esa variación de su TIR.

$$\begin{aligned}\frac{\Delta P_B}{P_B}&\approx-2{,}8286\cdot0{,}005\\&\approx-0{,}014143\end{aligned}$$

El precio cae aproximadamente un 1,4143 %. Partiendo de 100:

$$\begin{aligned}P_{B,\mathrm{aprox}}&\approx100(1-0{,}014143)\\&\approx98{,}5857\end{aligned}$$

Comprobación con el precio exacto

Para comprobar la estimación, volvemos a descontar los mismos flujos, ahora al 3,5 %.

$$\begin{aligned}P_{B,\mathrm{exacto}}&=\frac{3}{1{,}035}+\frac{3}{1{,}035^2}\\&\quad+\frac{103}{1{,}035^3}\\&\approx98{,}5992\end{aligned}$$

Precio estimado: 98,59. Precio exacto: 98,60.
Antes de redondear a céntimos, la diferencia es de unas 0,0135 unidades por cada 100 de nominal.

Explora la aproximación

¿Hasta dónde llega la aproximación por duración?

Amplía o reduce el cambio de TIR del bono B. Observa si la recta de la duración sigue dando el mismo precio que descontar de nuevo sus flujos.

Se mantienen los flujos 3, 3 y 103 y el punto de partida del 3 %. El cambio es inmediato: no transcurre tiempo. Intervalo didáctico de −300 a +300 puntos básicos (−3 a +3 puntos porcentuales). Este explorador no modifica la solución fija del artículo.

Se muestra el escenario inicial. Los controles están disponibles cuando JavaScript está activo; la explicación y el ejercicio completo siguen siendo legibles sin él.

Arriba, línea continua y círculo: precio exacto; línea discontinua y cuadrado: estimación con la duración inicial. Abajo se amplía la diferencia entre ambos, con escala fija de 0 a 0,6 por cada 100 de nominal. El punto dorado sigue la misma TIR elegida.

Exacto: 98,5992 · Estimado: 98,5857Precios por cada 100 de nominal · TIR: 3,50 %.

Diferencia (exacto − estimado): 0,0135

El cambio es de 50 puntos básicos. La recta usa la duración calculada al 3 %, sin recalcularla para la nueva TIR. La convexidad positiva de este bono deja el precio exacto por encima de esa aproximación.

Interpretación y límites

La duración dibuja una aproximación lineal de una relación que es curva. Por eso la estimación no coincide exactamente con el precio recalculado. En este bono de flujos positivos y fijos, la convexidad hace que la caída exacta sea algo menor que la estimada solo con duración.

El ejercicio aísla un cambio inmediato de la TIR: no transcurre tiempo ni cambian los flujos. Para movimientos mayores, o bonos con opciones que alteren sus pagos, esta aproximación puede resultar insuficiente.

Los principios de Malkiel ayudan a entender cómo responde el precio de un bono a los cambios de rentabilidad. La duración y la sensibilidad permiten cuantificar esa respuesta. En el recorrido por niveles, Malkiel se estudia en EIP; la medición mediante duración y sensibilidad se desarrolla en el Nivel II.

Errores que conviene evitar

Usar la duración de Macaulay en lugar de la modificada para estimar la variación del precio.
Introducir 0,50 en vez de 0,005 al convertir 50 puntos básicos.
Olvidar el signo negativo o el reembolso del nominal en el último flujo.
Presentar el precio aproximado como exacto, o redondear la duración antes de terminar el cálculo.

Seguir practicando

Del ejemplo a tu preparación del examen

Practica la aplicación de los conceptos con preguntas y casos resueltos. Elige el libro correspondiente a EIP, EFA Nivel II o EFA completo.

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Si necesitas desarrollar la base teórica, consulta el Manual de teoría EIP/EFA.